La semplificazione delle frazioni. Frazioni equivalenti
Per le frazioni algebriche valgono le stesse regole delle frazioni aritmetiche: in particolare vale la proprietà invariantiva.
Una frazione algebrica non cambia se si moltiplica o si divide il numeratore e il denominatore per un polinomio diverso da zero.
Pertanto una frazione algebrica può essere ridotta ai minimi termini, cioè semplificata dividendo numeratore e denominatore per uno stesso fattore comune non nullo. Le due frazioni quella di partenza e quella semplificata sono naturalmente equivalenti. Consideriamo ad esempio la frazione algebrica:
e cerchiamo di semplificarla. Scomponiamo in fattori, se è possibile, numeratore e denominatore. Poichè numeratore e denominatore hanno in comune il fattore (x + 1) possiamo dividerli entrambi per il divisore comune; pertanto si ha:
La frazione ottenuta non è ulteriormente semplificabile, cioè è ridotta ai minimi termini, perchè numeratore e denominatore sono polinomi irriducibili distinti. Non possono quindi esserci altri fattori comuni. Ora, le due frazioni quella iniziale e quella ridotta ai minimi termini sono equivalenti (cioè, assumono lo stesso valore per ogni numero reale assegnato a x che non renda nullo nè l'uno nè l'altro denominatore).
