Le frazioni algebriche
L'insieme dei polinomi è chiuso rispetto ad addizione, sottrazione e moltiplicazione ma non è chiuso rispetto alla divisione, ad esempio la divisione
non è eseguibile nell'insieme dei polinomi e quindi, rappresenta un nuovo oggetto algebrico che prende il nome di frazione algebrica.
Pertanto una frazione algebrica è una frazione in cui numeratore e denominatore sono entrambi polinomi. Ad esempio sono frazioni algebriche:
Una frazione algebrica ha significato solo per quei valori attribuiti alle lettere che rendono il denominatore diverso da zero. Bisogna cioè indicare sempre le condizioni di esistenza (abbreviazione C.E.) della frazione algebrica.
Ad esempio, la frazione algebrica:
perde significato per x = 2 e per x = −2. Infatti, per questi due valori di x il denominatore è nullo:
(2)2 − 4 = 4 − 4 = 0; (− 2)2 − 4 = 4 − 4 = 0
La frazione considerata perde significato solo per due particolari valori di x e ciò si esprime con le condizioni di esistenza:
C.E.: ∀x ≠ 2, ∀x ≠ − 2 oppure C.E.: ∀x ≠ 2 ∧ ∀x ≠ − 2
(si legge: la frazione ha significato per ogni valore di x diverso da 2 e da −2).
Naturalmente, ogni polinomio può considerarsi come una frazione algebrica, perchè possiamo sempre supporre che il denominatore sia 1, perciò possiamo considerare l'insieme dei polinomi come un sottoinsieme dell'insieme delle frazioni algebriche.
Una frazione algebrica è nulla se ha per numeratore zero.
