Numero zero

L'eccezione che conferma la regola

Il ruolo dello zero è importante in molti campi della matematica e va ben oltre a quello che svolge nei sistemi di numerazione posizionali. Infatti, lo zero è un numero singolare:

• è l'unico numero naturale che non ha il precedente;

  0, 1, 2, 3, 4, ...

• è l'unico numero relativo nè negativo nè positivo.

  ...-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...

• non è nè un numero primo nè un numero composto ma è considerato un numero pari.

Inoltre, il numero zero, ha un comportamento particolare nelle operazioni che occorre tener presente sia per evitare eventuali errori di calcolo sia per comprendere perchè in molte definizioni è necessario aggiungere diverso da zero.

• Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione.
  
  Lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso:

  a + 0 = 0 + a = a

  Qui la parola neutro significa che non cambia il risultato dell'addizione.

• Lo zero è l'elemento neutro della sottrazione se si trova al minuendo.
  
  Se si toglie 0 a qualsiasi numero il risultato è sempre quel numero:

  a - 0 = a

• Lo zero è l'elemento assorbente della motiplicazione.
  
  Se si moltiplica un numero per 0 il risultato è sempre 0.

  a ⋅ 0 = 0

  Da ciò deriva la legge di annullamento del prodotto.

  Un prodotto di due o più fattori vale 0 solo se vale 0 almeno uno dei fattori.

• L'opposto di 0 è 0.

  0 + 0 = 0

  L'opposto di un numero è il numero che aggiunto a quello dato, dà come somma zero.

• Il reciproco di 0 non esiste.
  
  Il reciproco di un numero è il numero che, moltiplicato per quello dato, dà come prodotto 1. Essendo 0 l'elemento assorbente della moltiplicazione non può avere il reciproco.

• Lo zero diviso per qualsiasi numero diverso da 0 dà come risultato 0.

  0 : a = 0

• Non si pò dividere per 0.
  
  Essendo la divisione l'operazione inversa della moltiplicazione allora per dividere due numeri si moltiplica il primo per il reciproco del secondo. Dato che non esiste il reciproco di 0 non si può dividere per 0. Da ciò deriva che non esistono frazioni con denominatore 0.

• La scrittura 0 : 0 non ha significato.
  
  Ogni numero moltiplicato per 0 dà per risultato 0. La divisione non avrebbe quindi un unico risultato. In questi casi si dice che l'operazione è indeterminata

• Qualsiasi potenza con base 0 ed esponente diverso da zero è 0.

  0ⁿ = 0

• Qualsiasi potenza con base diversa da 0 ed esponente 0 è uguale a 1.

  a⁰ = 1

• Una potenza con base 0 ed esponente 0 è priva di significato.

• Lo zero è il monomio nullo ed è l'unico monomio a cui non viene attribuito il grado.

  I monomi di grado 1 sono le singole varibili con esponente 1 (a, b, c, ...), i monomi di grado 0 sono i numeri diversi da zero (3a⁰ = 3)

Vediamo un esempio in cui è necessario aggiungere diverso da zero.

Seconda legge di monotonia: Moltiplicando per uno stesso numero naturale diverso da zero i due membri di una disuguaglianza, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso.

Questa legge diventa falsa se moltiplichiamo per zero i due membri di una disuguaglianza.