Sistema di numerazione a base 2

Abbiamo visto che il nostro sistema di numerazione è decimale posizionale: ogni numero può essere scritto utilizzando solo 10 cifre. Si dice anche che è un sistema a base 10. Il valore delle cifre che compongono il numero cambia al variare della posizione occupata. Perchè sono state scelte proprio 10 cifre? Perchè, come potete immaginare, abbiamo dieci dita e le dita si usano per contare. Esistono però sistemi di numerazione a base diversa da 10: a base 2, a base 3, a base 4 e cosí via. Noi considereremo in particolare il sistema di numerazione a base 2, detto anche sistema binario, perchè è alla base del funzionamento delle apparecchiature digitali: calcolatrici tascabili, computer, televisori digitali, macchine fotografiche digitali, scanner, videoregistratori, telefonini, ecc. Vediamo cosa cambia passando dalla base 10 alla base 2:

• nel sistema di numerazione a base 10 si utilizzano dieci cifre, nel sistema a base 2 si utilizzano solo due cifre, 0 e 1;

• nel sistema di numerazione a base 10 ogni posizione vale 10 volte la posizione immediatamente a destra, nel sistema a base 2 ogni posizione vale 2 volte la posizione immediatamente a destra.

• nel sistema di numerazione a base 10 ogni cifra, a partire da destra, è associata a una potenza del 10, nel sistema a base 2 ogni cifra, a partire da destra, è associata a una potenza del 2.

Come possiamo allora scrivere un qualsiasi numero in base 2? Osserva lo schema seguente:

Nelle caselle bianche inseriremo le cifre del numero binario (cioè 0 oppure 1) tenendo conto del valore di posizione indicato sotto ogni casella. Ecco i numeri da 0 a 5 scritti in base 2:

Quando scriviamo un numero in base diversa da 10 dobbiamo sempre specificare la nuova base; ecco ad esempio, come si scrive 5 in base 2

e lo leggeremo uno, zero, uno (e non centouno!). Nella tabella seguente sono riportati i numeri da 0 a 10 in base 2 con la relativa forma polinomiale.

Nel sistema di numerazione in base 10 ogni posizione ha un nome: posizione delle unità, delle decine, delle centinaia, delle migliaia e cosí via. Analogamente possiamo dare un nome ad ogni posizione in base 2; partendo da destra: posizione delle unità, delle duine, delle quartine, delle ottine e coí via. Ad esempio, il numero 1010_due è costituito da:

1 ottina, 0 quartine, 1 duina, 0 unità

E non si legge milledieci come nel sistema di numerazione decimale, ma una cifra alla volta uno zero uno zero in base 2.

Per trasformare un numero scritto in base 10 in uno scritto in base 2 dobbiamo operare divisioni successive per 2 fino ad avere quoziente minore di 2. Trasformiamo ad esempio, il numero 21 (base 10) in base 2. Eseguiamo le divisioni successive:

e poi prendiamo l'ultimo quoziente e tutti i resti in ordine inverso, otteniamo cosí il numero:

10101_due

La verifica puè essere fatta riconvertendo il numero in base 2 nel corrispondente numero in base 10 mediante l'espressione polinomiale con potenze di 2.

10101_due=(1x2⁴+0x2³+1x2²+0x2¹+1x2⁰)_dieci=(16+4+1)_dieci=21_dieci

Nel sistema binario le operazioni aritmetiche sono eseguite con gli stessi procedimenti che si utilizzano nel sistema decimale. Ad esempio:

• Nell'operazione di addizione i quattro possibili casi di somma di due numeri binari di una sola cifra sono:

  0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10

  L'addizione tra due numeri binari si esegue come una normale addizione disponendo gli addenti incolonnati e poi si sommano le cifre di ciascuna colonna a partire da destra. Vediamo due esempi di addizione tra numeri binari. Nella prima addizione la somma delle cifre non genera mai un riporto mentre nella seconda ci sono due riporti.

  

• Nell'operazione di sottrazione i quattro possibili casi di sottrazione di due numeri binari di una sola cifra sono:

  0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; (1)0 - 1 = 1 (con prestito di 1+1); 1 - 1 = 0

  La sottrazione tra due numeri binari si esegue come una normale sottrazione tenendo presente che ogni volta che si deve sottrarre dalla cifra 0 la cifra 1, occorre chiedere in prestito una unità alla cifra di ordine immediatamente superiore e che essa vale 2 unità dell'ordine immediatamente inferiore. Vediamo due esempi di sottrazione tra numeri binari. Nella prima sottrazione la differenza tra due cifre non genera mai un prestito mentre nella seconda ci sono due prestiti.

  

• Nell'operazione di moltiplicazione i quattro possibili casi di moltiplicazione di due numeri binari di una sola cifra sono:

  0 ⋅ 0 = 0; 1 ⋅ 0 = 0; 0 ⋅ 1 = 0; 1 ⋅ 1 = 1

  Dopo aver messo in colonna i due fattori si procede come una normale moltiplicazione

  

• Nell'operazione di divisione i quattro possibili casi di divisione di due numeri binari di una sola cifra sono:

  0 : 0 = indeterminata; 1 : 0 = impossibile; 0 : 1 = 0; 1 : 1 = 1

  Anche con la divisione si procede come una normale divisione.

  

Oggi il sistema binario è alla base del funzionamento delle calcolatrici tascabili, dei computer, dei televisori digitali, delle macchine fotografiche digitali, degli scanner, dei videoregistratori, dei telefonini, ecc. In un circuito elettrico possiamo, infatti, associare alla posizione chiuso dell'interruttore la cifra 1 e alla posizione aperto la cifra 0; per la lampadina associamo allo stato acceso la cifra 1 e allo stato spento la cifra 0.

Ad esempio, il numero 11_dieci tradotto nel sistema binario diventa 1011_due e, tradotto in linguaggio elettrico diventa: per l'interruttore chiuso-aperto-chiuso-chiuso e per la lampadina accesa-spenta-accesa-accesa tramite il seguente circuito elettrico.

Questa corrispondenza fra una disposizione degli interruttori (o delle lampadine) e un dato numero binario permette di stabilire un codice numerico che può essere utilizzato per comunicare, un messaggio (numeri, testo, immagini, suoni, ecc.) sottoforma di linguaggio elettrico che viene poi trasmesso ad un'elevata velocità. Naturalmente una calcolatrice tascabile non visualizza i numeri attraverso le lampadine spente o accese ma con un particolare dispositivo; il display a sette segmenti.

Questo dispositivo elettronico contiene 7 segmenti luminosi (chiamati LED) disposti in modo da formare un 8. Illuminando opportunamente i vari segmenti è possibile rappresentare tutte le cifre del sistema in base 10.

Ad esempio, se sulla nostra calcolatrice schiacciamo il tasto 5 attiviamo un circuito in cui la disposizione degli interruttori è chiuso-aperto-chiuso che a sua volta attiva sul display solo quei segmenti che formano il 5.