Sistema di numerazione egizio
Lungo il corso del fiume Nilo più di 5000 anni fa, si sviluppò una delle più antiche civiltà: la civiltà egizia. L'Egitto è in gran parte un territorio desertico e quasi inabitabile se non fosse attraversato da sud a nord dal fiume Nilo. Ogni anno il Nilo inondava tutto le terre circostanti e le ricopriva di limo fertilissimo consentendo lo sviluppo di una florida agricoltura. Per poter tenere sotto controllo la violenza delle inondazioni e per incrementare lo sfruttamento della terra coltivabile gli antichi egiziani dovettero bonificare le paludi, costruire argini, canali e dighe. L'esecuzione di questi lavori permise di acquisire alcune semplici regole pratiche di aritmetica e geometria. Inoltre, si creò una salda unione tra le popolazioni dei vari villaggi sorti lungo il Nilo e l'esigenza di avere un sovrano capace di organizzare e dirigere i lavori tenendo conto degli interessi della comunità. In un primo tempo si formarono due grandi regni uno al nord (il Basso Egitto nelle regioni del Delta) e uno al sud (l'Alto Egitto nelle valli superiori del Nilo). Intorno al 3100 a.C. avvenne l'unificazione dei due regni con un unico sovrano: il faraone Menes. Attorno al 3000 a.C. gli egizi inventarono una scrittura e un sistema di numerazione geroglifico. I geroglifici era un sistema di scrittura pittorica dove ogni carattere era raffigurato con un piccolo disegno di un oggetto reale: pianta, animale, utensile, parti del corpo umano che veniva inciso sulla pietra o rappresentato su carta di papiro ricavata da una pianta acquatica che cresceva nelle paludi lungo le rive del Nilo.
Nel sistema di numerazione geroglifico egizio venivano utilizzati sette particolari disegni distinti e ogni disegno rappresentava una potenza del 10 (da 100 a 106): il numero 1 era rappresentato da un'asta verticale, il 10 da un pezzo di corda a forma di ferro di cavallo, il 100 da un giro di corda avvolto, il 1000 da un fiore di loto, il 10.000 da un dito, il 100.000 da un girino e il 1.000.000 da un uomo con le braccie alzate.
Gli altri numeri si scrivevano ripetendo questi simboli utilizzando le seguenti regole:
il valore di un simbolo è sempre lo stesso, cioè non varia al variare della sua posizione;
uno stesso simbolo non può essere ripetuto più di nove volte;
il valore del numero è dato dalla somma dei valori dei simboli che vi compaiono.
Ad esempio la scrittura:
rappresentava il numero:
135 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 10 + 10 + 10 + 100
Nel numero egizio l'ordine con cui comparivano i geroglifici non era importante ma, la prassi era generalmente di sistemarli da destra verso sinistra in ordine di grandezza decrescente.
Il sistema di numerazione egizio non ha un simbolo per indicare lo zero e non è posizionale ma è decimale e additivo perchè ogni simbolo rappresenta un gruppo di dieci unità dell'ordine inferiore e il valore di un numero si ottiene sommando i valori rappresentati da ciascun simbolo, senza tener conto della posizione occupata. La rappresentazione di numeri anche non molto grandi è macchinosa, ad esempio la scrittura del numero 999 mediante geroglifici richiede l'uso di ben 27 simboli!
L'operazione di addizione tra due o più numeri in geroglifico era semplice perchè bastava mettere insieme i simboli di ciscuno degli addendi. Ad esempio, per sommare i due numeri geroglifici 123 e 204
si trascrivevano le aste verticali del primo e del secondo numero poi le forme di ferro di cavallo del primo e del secondo numero e infine le corde arrotolate del primo e del secondo numero ottenendo il risultato 327.
Quando nel risultato dell'addizione capitava di dover trascrivere dieci simboli di uno stesso tipo ripetuti questi venivano sostituiti con un singolo simbolo dell'ordine superiore in modo da rispettare la regola di non ripetere uno stesso simbolo più di nove volte. Ad esempio, nell'addizione dei due numeri 116 e 25
mettendo insieme i simboli dei due addendi si ottiene il numero
dove il simbolo verticale delle unità è ripetuto undici volte. In questo caso la scrittura del numero veniva modificata sostituendo i dieci simboli verticali con un solo simbolo dell'ordine superiore cioè con il simbolo a ferro di cavallo.
ottenendo cosí una scrittura del numero più compatta utilizzando il minor numero possibile di simboli.
Anche l'operazione di sottrazione tra due numeri in geroglifico era semplice perchè bastava togliere dal primo numero (il minuendo) tutti i simboli presenti nel secondo numero (il sottraendo). Ad esempio, la differenza tra i due numeri geroglifici 54 e 32
si otteneva eliminando dal minuendo due aste verticali e tre simboli a forma di ferro di cavallo.
In alcuni casi, per poter togliere dal minuendo tutti i simboli presenti nel sottraendo, era necessario sostituire un simbolo con dieci simboli dell'ordine inferiore. Ad esempio, nella differenza tra i due numeri geroglifici 43 e 27
per poter toglire dal minuendo le sette aste verticale del sottraendo era necessario sostituire uno dei simboli a forma di ferro di cavallo con dieci aste verticali.
fatta la sostituzione
era poi possibile togliere dal minuendo le sette aste verticali e i due simboli a forma di ferro di cavallo.
L'operazione di moltiplicazione tra due numeri in geroglifico non richiedeva la conoscenza delle tabelline perchè si basava sul metodo dei raddoppi successivi. D'altronte raddoppiare un numero scritto in geroglifico è molto semplice perchè basta ripetere due volte ogni simbolo del numero da raddoppiare. Vediamo con un esempio come uno scriba egiziano eseguiva la moltiplicazione tra i due numeri geroglifici 12 e 101 secondo la tecnica dei raddoppi. Tracciava tre linee verticali in modo da formare due colonne. Nella colonna di sinistra scriveva il numero 1 e a fianco nella colonna di destra il numero 101 (il moltiplicando). Poi raddoppiava sia 1 che 101 e scriveva i risultati 2 e 202 rispettivamente sotto l'1 e sotto il 101. Ripeteva l'operazione e raddopiava sia 2 che 202 e scriveva i risultati 4 e 404 rispettivamente sotto 2 e sotto 202. Continuava a raddoppiare la nuova coppia e scriveva nella colonna di sinistra 8 e nella colonna di destra 808. A questo punto smetteva di raddoppiare perchè nella prima colonna non bisognava scrivere un numero maggiore del moltiplicatore che in questo caso è 12.
Poi considerava solo quei numeri, scritti nella prima colonna, che sommati fornivano come risultato 12 (in questo caso sono 4 e 8; 4+8=12) e eseguiva la somma dei numeri posti nella seconda colonna sulla stessa riga di 4 e di 8 (in questo caso sono 404 e 808; 404+808=1212). Questa somma era il risultato della moltiplicazione.
Analizziamo la moltiplicazione eseguita dallo scriba: sono utilizzate due operazioni, la moltiplicazione per 2 e l'addizione e applicate due proprietà la distributiva della moltiplicazione e l'associativa della somma.
12⋅101=(4+8)⋅101=4⋅101+8⋅101=404+808=1212
Nella prima colonna sono scritte in successione le potenze di due:
20=1; 21=2; 22=4; 23=8
e il primo fattore è ottenuto come somma di potenze di 2: 22+23=12. E' evidente che gli antichi egiziani avevano intuito che è sempre possibile scrivere qualsiasi numero intero come somma di potenza di due ed era semplice ottenere potenze di due con il metodo del raddoppio. La moltiplicazione tra due numeri si poteva quindi ottenere facilmente scomponendo il moltiplicatore in una somma di potenze di due, moltiplicare queste potenze di due per il moltiplicando e sommare i prodotti parziali.
Anche l'operazione di divisione tra due numeri veniva eseguita con il metodo del raddoppio. Ad esempio, per dividere 375 per 15 si poneva l'unità nella prima colonna e il divisore (15) nella seconda colonna, poi si eseguivano in successione i raddoppi evitando di superare il dividendo (375) nella seconda colonna.
Infine, si consideravano solo quei numeri scritti nella seconda colonna che sommati fornivano il dividendo (in questo caso sono 15, 120 e 240; 15+120+240=375) e si eseguiva la somma dei numeri posti nella prima colonna sulla stessa riga di 15, di 120 e di 240 (in questo caso sono 1 8 e 16; 1+8+16=25). Questa somma (25) era il quoziente della divisione.
