Disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno
Le disequazioni goniometriche omogeneee di secondo grado in seno e coseno sono disequazioni che hanno tutti i termini di secondo grado e sono del tipo:
asin2x + bsenxcosx + ccos2 > 0
dove a, b, c sono numeri reali e il simbolo > può essere sostituito con <, ≥ oppure ≤.
Per risolvere una disequazione omogenee di secondo grado si suppone inizialmente cos2x ≠ 0 cioè x ≠ Π/2 + kΠ e si dividono entrambi i membri per cos2x ottenendo così una disequazione equivalente di secondo grado con lo stesso verso in tanx che si risolve facilmente. Poi si verifica se i valori esclusi x=Π/2 + kΠ siano soluzioni della disequazione iniziale. In caso affermativo vengono aggiunti alle soluzioni trovate in precedenza. Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1.Risolviamo la disequazione omogenea di secondo grado
Dividendo entrambi i membri per cos2x si ottiene
e risolvendo l'equazione associata rispetto a tanx si ottengono le due soluzioni
Pertanto la disequazione è soddisfatta per valori esterni:
Rappresentando questi valori sulla circonferenza goniometrica si ha:
Controlliamo se i valori inizialmente esclusi x=Π/2 + kΠ sono soluzioni della disequazione introducendo questi valori nella disequazione iniziale:
Essendo vera la disuguaglianza la disequazione iniziale è verificata anche per x=Π/2+kΠ che vanno inclusi nella soluzione. Pertanto la disequazione iniziale ha per soluzione:
