Disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno
Le disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno sono disequazioni in cui sono presenti sia il seno che il coseno come funzioni di primo grado e sono del tipo:
asinx + bcosx + c > 0
dove a, b, c sono numeri reali e il simbolo > può essere sostituito con <, ≥ oppure ≤. Il metodo più semplice per risolvere una disequazione lineare è quello grafico. Vediamo alcuni esempi.
- Esempio 1. Risolviamo la disequazione lineare:
sinx + cosx - 1 < 0
Ponendo cosx = X, sinx = Y e utilizzando la relazione sin2x+cos2x=1 possiamo associare alla disequazione lineare il sistema:
Che rappresenta l'intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semipiano definito dalla disequazione Y < -X + 1
Dal grafico si vede che la retta di equazione Y=-X+1 interseca la circonferenza goniometrica nei punti (1,0) e (0, 1) e le soluzioni del sistema sono tutti gli angoli associati ai punti dell'arco evidenziato in rosso. Pertanto le soluzioni della disequazione sono:
- Esempio 2. Risolviamo la disequazione lineare:
Ponendo cosx = X, sinx = Y e utilizzando la relazione sin2x+cos2x=1 possiamo associare alla disequazione lineare il sistema:
che rappresenta l'intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semipiano definito dalla disequazione Y ≥ √3 X
Dal grafico si vede che la retta di equazione Y=√3 X interseca la circonferenza goniometrica nei punti
E le soluzioni del sistema sono tutti gli angoli associati ai punti dell'arco evidenziato in rosso. Pertanto le soluzioni della disequazione sono:
