Disequazioni goniometriche di secondo grado
Per risolvere le disequazioni goniometriche di secondo grado si considera l'equazione associata, si determinano le sue soluzioni e poi si risolvono le disequazioni elementari corrispondenti ai valori esterni o interni secondo il verso della disequazione. Ad esempio, risolviamo la disequazione di secondo grado:
2cos2x - cosx - 1 ≤ 0
Consideriamo l'equazione associata:
2cos2x - cosx - 1 = 0
Determiniamo le sue soluzioni:
La disequazione è quindi soddisfatta per i valori interni:
Utilizzando la circonferenza goniometrica e la retta x=-1/2 possiamo verificare che la doppia disequazione è soddisfatta per:
Tenendo presente della periodicità della funzione coseno le soluzioni della disequazione iniziale sono:
In alcuni casi la disequazioni goniometrica di secondo grado può essere scomposta nel prodotto di due fattori di primo grado. In tal caso si studia la positività di ciascun fattore e poi si applicata la regola dei segni per determinare le soluzioni della disequazione. Vediamo alcuni esempi.
- Esempio 1. Risolviamo la disequazione:
Raccogliamo a fattor comune sin x si ha:
sinx(2sinx - 1) > 0
Studiamo il segno dei fattori utilizzando uno schema circolare per il confronto dei segni, tenendo presente che la disequazione iniziale è soddisfatta quando il prodotto è positivo:
F1 > 0: sinx > 0; F2 > 0: 2sinx - 1 > 0 → sinx > 1/2
Le soluzioni sono quindi:
- Esempio 2. Risolviamo la disequazione:
2sinxcosx - sinx > 0
Raccogliamo a fattor comune sinx si ha:
sinx(2cosx - 1) > 0
Studiamo il segno dei fattori utilizzando uno schema circolare per il confronto dei segni, tenendo presente che la disequazione iniziale è soddisfatta quando il prodotto è positivo:
F1 > 0: sinx > 0; F2 > 0: 2cosx - 1 > 0 → cosx > 1/2
Le soluzioni sono quindi:
- Esempio 3. Risolviamo la disequazione:
tan2x - tanx < 0
Raccogliamo a fattor comune tanx si ha:
tanx(tanx - 1) < 0
Studiamo il segno dei fattori utilizzando uno schema circolare per il confronto dei segni, tenendo presente che la disequazione iniziale è soddisfatta quando il prodotto è negativo:
F1 > 0: tanx > 0; F2 > 0: tanx - 1 > 0 → tanx > 1
Le soluzioni sono quindi:
- Esempio 4. Risolviamo la disequazione:
2cos2x + 3cosx + 1 > 0
Scriviamo la disequazione nella forma:
2cos2x + cosx + 2cosx + 1 > 0
Raccogliendo cosx tra i primi due termini si ottiene:
cosx(2cosx + 1) + 2cosx + 1 > 0
Raccogliendo a fattor comune 2cosx + 1 si ha:
(cosx + 1)(2cosx + 1) > 0
Abbiamo così trasformato la disequazione iniziale nel prodotto di due fattori. Studiamo il segno dei due fattori e poi utilizziamo uno schema circolare per il confronto dei segni, tenendo presente che la disequazione iniziale è soddisfatta quando il prodotto è positivo:
F1 > 0: cosx + 1 > 0→ cosx > -1; F2 > 0: 2cosx + 1 > 0 → cosx > -1/2
Le soluzioni sono quindi:
- Esempio 5. Risolviamo la disequazione:
2sin2x + 4cos2x - 5cosx > 0
Sostituiamo sin2x con 1 - cos2x
2(1 - cos2x) + 4cos2x - 5cosx > 0
Cioè:
2cos2x - 5cosx + 2 > 0
Scriviamo la disequazione nella forma:
2cos2x - 4cosx - cosx + 2 > 0
Raccogliendo 2cosx tra i primi due termini si ottiene:
2cosx(cosx - 2) - (cosx - 2) > 0
Raccogliendo a fattor comune cosx - 2 si ha:
(cosx - 2)(2cosx - 1) > 0
Studiamo il segno dei fattori utilizzando uno schema circolare per il confronto dei segni, tenendo presente che la disequazione iniziale è soddisfatta quando il prodotto è positivo:
F1 > 0: cosx - 2 > 0→ cosx > 2 non ha soluzioni;
F2 > 0: 2cosx - 1 > 0 → cosx > 1/2
Le soluzioni sono quindi:
