Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari
Le disequazioni goniometriche composte del tipo:
sin f(x) > m cos f(x) > m tan f(x) > m
dove f(x) è un'espressione contenente l'incognita x (e il simbolo > può essere sostituito con <, ≤ o ≥) si possono trasformare, mediante una semplice sostituzione, in una disequazione goniometrica elementare. Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1.Risolviamo la disequazione
Possiamo ricondurci a una disequazione elementare ponendo 2x = t
Per determinare le soluzioni di questa disequazione tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione x=1/2. Tale retta interseca la circonferenza in due punti ai quali sono associati gli angoli di ampiezza in gradi 60° e 300° e in radianti 1/3 Π e 5/3 Π.
I punti della circonferenza aventi ascissa minore di 1/2 sono quelli evidenziati in rosso. Tenendo conto della periodicità della funzione y=cos x le soluzioni della disequazione nella variabile ausiliaria t sono:
Ritornando alla variabile x si ha:
e dividendo per 2 si ottengono le soluzioni della disequazione iniziale:
Esempio 2.Risolviamo la disequazione
Possiamo ricondurci a una disequazione elementare ponendo (x-Π/4)= t
Per determinare le soluzioni di questa disequazione tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=1/2. Tale retta interseca la circonferenza in due punti ai quali sono associati gli angoli di ampiezza in gradi 30ࢀ e 150° e in radianti 1/6 Π e 5/6 Π.
I punti della circonferenza aventi ordinata maggiore o uguale a 1/2 sono quelli evidenziati in rosso. Tenendo conto della periodicità della funzione y=sin x le soluzioni della disequazione nella variabile ausiliaria t sono:
Ritornando all'argomento della disequazione iniziale si ha:
da cui:
Esempio 3.Risolviamo la disequazione
Possiamo ricondurci a una disequazione elementare ponendo (3x-Π/6)= t
Per determinare le soluzioni di questa disequazione tracciamo la circonferenza goniometrica, la retta di equazione x=1 e la retta y=x. Quest'ultima interseca la circonferenza in due punti ai quali sono associati gli angoli di ampiezza in gradi 45° e 225° e in radianti 1/4 Π e 5/4 Π.
I punti della circonferenza aventi la tangente maggiore di 1/2 sono quelli evidenziati in rosso. Tenendo conto della periodicità della funzione y=tan x le soluzioni della disequazione nella variabile ausiliaria t sono:
Ritornando all'argomento della disequazione iniziale si ha:
da cui:
