Disequazioni goniometriche elementari
Una disequazione è detta goniometrica se l'incognita figura nell'argomento di almeno una funzione goniometrica (seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente). Per le disequazioni goniometriche valgono gli stessi principi utilizzati per le disequazioni algebriche ma occorre considerare anche la periodicità delle singole funzioni goniometriche.
Risolvere una disequazione goniometrica significa determinare gli angoli incogniti che verificano la disuguaglianza tra il primo e il secondo membro. In questa prima parte ci occuperemo delle disequazioni goniometriche elementari che sono quelle in cui compare una sola funzione goniometrica dell'incognita e sono del tipo:sin x > m; cos x > m; tan x > m; cot x > m con m ∈ R
dove il simbolo > può essere sostituito con <, ≤ o ≥. Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1.Risolviamo la disequazione
Determinare le soluzioni di questa disequazione significa individuare i punti della circonferenza goniometrica che hanno ordinata maggiore di -(√2)/2.
Per determinarli tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=-(√2)/2. Tale retta interseca la circonferenza in due punti ai quali sono associati gli angoli di ampiezza in gradi 225° e 315° (oppure -45°) e in radianti 5/4 Π e 7/4 Π (oppure -Π/4).
I punti della circonferenza aventi ordinata maggiore di -(√2)/2 sono quelli evidenziati in rosso. Tenendo conto della periodicità della funzione y=sin x le soluzioni della nostra disequazione sono quindi:
Esempio 2.
Risolviamo la disequazione
Determinare le soluzioni di questa disequazione significa individuare i punti della circonferenza goniometrica che hanno ascissa maggiore o uguale a (√3)/2.
Per determinarli tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione x=(√3)/2. Tale retta interseca la circonferenza in due punti ai quali sono associati gli angoli di ampiezza in gradi +30° e -30° e in radianti 1/6 Π e -1/6 Π.
I punti della circonferenza aventi ascissa maggiore o uguale a (√3)/2 sono quelli evidenziati in rosso. Tenendo conto della periodicità della funzione y=cos x le soluzioni della nostra disequazione sono quindi:
Esempio 3.
Risolviamo la disequazione
Determinare le soluzioni di questa disequazione significa individuare quali sono i punti della circonferenza goniometrica con la tangente minore o uguale a √3.
Per determinarli tracciamo la circonferenza goniometrica, la retta di equazione x=1 e la retta di equazione y=(√3)x. Quest'ultima retta interseca la circonferenza in due punti ai quali sono associati gli angoli di ampiezza in gradi 60° e 240° e in radianti 1/3 Π e 4/3 Π.
I punti della circonferenza aventi la tangente minore o uguale a √3 sono quelli evidenziati in rosso. Tenendo conto della periodicità della funzione y=tan x le soluzioni della nostra disequazione sono quindi:
