Applicazioni delle equazione lineari

Molti problemi possono essere risolti facilmente traducendo l'enunciato del problema in un'equazione di primo grado. Questa operazione non è semplice; vediamo con due esempi il procedimento da eseguire:

Problema 1: La differenza tra due numeri interi è uguale a 7 e il triplo del numero minore più il doppio del numero maggiore è uguale a 54. Quali sono i due numeri?

• Primo passo: individuare i dati incogniti del problema, indicare con x uno degli elementi incogniti e esprimere gli eventuali altri elementi incogniti in funzione di x.
  
  Nel nostro problema i dati incogniti sono due: il numero maggiore e il numero minore. Se indichiamo con x il numero maggiore, il numero minore in funzione di x sarà necessariamente x − 7 (potremmo, in alternativa indicare con x il numero minore e con x + 7 il numero maggiore).

• Secondo passo: Scrivere l'equazione che lega tra loro i dati noti del problema e gli elementi incogniti. E' qui che l'enunciato del problema viene tradotto in un'equazione.

  

• Terzo passo: Risolvere l'equazione.

  3(x − 7) + 2x = 54
  
  3x − 21 + 2x = 54
  
  5x = 54 + 21
  
  5x = 75      x = 15

  Quindi il numero maggiore è 15 e il minore è 15 − 7 = 8

• Quarto passo: Verificare l'accettabilità della soluzione.
  
  La soluzione 8 e 15 è accettabile perchè come viene chiesto dal problema sono due numeri interi e inoltre verificano tutte le altre condizioni:

  15 − 8 = 7;      3 ⋅ 8 + 2 ⋅ 15 = 54

Problema 2: A una gita su un battello partecipano 48 persone: il prezzo del biglietto è € 15 per gli adulti e € 6 per i bambini. Se l'incasso è di € 576, quanti sono gli adulti e i bambini?

• Primo passo: I dati incogniti sono due: il numero degli adulti e il numero dei bambini. Se indichiamo con x il numero degli adulti, il numero dei bambini in funzione di x sarà necessariamente 48 − x.

• Secondo passo: Traduciamo in un'equazione l'enunciato del problema legando tra loro i dati noti e gli elementi incogniti.

  

• Terzo passo: Risolviamo l'equazione.

  15x + (48 − x)6 = 576
  
  15x + 288 − 6x = 576
  
  9x = 288
  
  x = 32

  Quindi il numero degli adulti è 32 e il numero dei bambini è 48 − 32 = 16

• Quarto passo: Verificare l'accettabilità della soluzione.
  
  La soluzione 32 e 16 è accettabile perchè verificano tutte le condizioni del problema:

  32 + 16 = 48;      15 ⋅ 32 + 16 ⋅ 6 = 576