Cosa si deve sapere sulle equazioni lineari

Equazioni equivalenti

Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, cioè se l'insieme delle soluzioni della prima è uguale all'insieme delle soluzioni della seconda. Ad esempio le due equazioni:

3x − 2 = 2 − x     3x + 5 = 2x + 6

sono equivalenti perchè entrambe ammettono come unica soluzione x = 1.

Esistono due principi che consentono di trasformare un'equazione in un'altra equivalente:

• Primo principio: Sommando o sottraendo a entrambi i membri di un'equazione lo stesso numero si ottiene un'equazione equivalente.

• Secondo principio: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente.

Per cogliere il significato dei due principi si può ricorrere al modello di una bilancia a due piatti. Se la bilancia è in equilibrio, sarà ancora in equilibrio aggiungendo o togliendo a entrambi i piatti lo stesso peso (primo principio).

Se la bilancia è in equilibrio, sarà ancora in equilibrio raddoppiando, triplicando, quadruplicando (oppure dimezzando, dividendo per tre, dividendo per quattro) i pesi disposti su ciascun piatto (secondo principio).

Possiamo utilizzare delle semplici regole che rendono più facile e rapido l'applicazione dei principi di equivalenza saltando alcuni passaggi intermedi.

Trasporto di un termine: Si può trasportare un termine da un membro all'altro di un'equazione cambiandogli il segno.

Ad esempio, applichiamo questa regola all'equazione: 4x − 6 = 2 e trasportiamo il termine −6 dal primo al secondo membro:

      

Questa regola deriva dal primo principio di equivalenza, vediamo i passaggi intermedi che abbiamo saltato con la regola:

• Consideriamo l'equazione 4x − 6 = 2 e sommiamo a entrambi i membri +6

  4x − 6 + 6 = 2 + 6

• Eliminiamo dal primo membro i due termini noti opposti

  

• Scriviamo la nuova equazione equivalente a quella iniziale

  4x = 2 + 6

Eliminazione di termini uguali: Se uno stesso termine compare in entrambi i membri di una equazione si possono eliminare.

Ad esempio, applichiamo questa regola all'equazione: 4x − 3x = 2 − 3x e eliminiamo i termine −3x presenti nel primo e nel secondo membro:

Anche questa regola deriva dal primo principio di equivalenza (nel nostro esempio equivale a sottrarre −3x a entrambi i membri).

Cambiamento dei segni: Si possono cambiare i segni a tutti i termini di un'equazione.

Ad esempio, applicando questa regola all'equazione: − 6x + 2x = 2 − 3x si ottiene l'equazione equivalente

6x − 2x = − 2 + 3x

Questa regola deriva dal secondo principio di equivalenza ed equivale a moltiplicare per −1 tutti i termini dell'equazione.

Divisione per un fattore comune: Si possono dividere tutti i termini di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero.

Ad esempio, possiamo dividere tutti i termini dell'equazione: 9x + 3x = 6 − 12 per 3 ottenendo l'equazione equivalente

3x + x = 2 − 4x