La soluzione di una equazione lineare
I principi di equivalenza permettono di risolvere facilmente un'equazione lineare in un'incognita utilizzando solo quattro semplici passaggi. Ad esempio, vediamo i possibili passaggi per risolvere l'equazione:
5 + 3(x − 4) − 2x = 4x + 2(x − 1)
Primo passo: Eliminare, se ci sono, i denominatori e sviluppare i due membri dell'equazione.
Nel nostro caso dobbiamo solo sviluppare i due membri:5 + 3x − 12 − 2x = 4x + 2x − 2
Secondo passo: Trasportare al primo membro i termini che contengono l'incognita e al secondo i termini noti (in pratica si applica il primo principio di equivalenza).
3x − 2x − 4x − 2x = − 2 − 5 + 12
Terzo passo: Sommare i termini simili pervenendo necessariamente a un'equazione del tipo ax = b dove a è la somma algebrica dei coefficienti e b è la somma algebrica dei termini noti.
− 5x = 5
Quarto passo: Se a è diverso da zero dividere entambi i membri per a ottenendo la soluzione (in pratica si applica il secondo principio di equivalenza).
(− 5x) : (− 5) = 5 : (− 5) cioè x = − 1
Dunque, applicando questi quattro passi ad un'equazione di primo grado nell'incognita x si arriva sempre all'equazione equivalente del tipo:
ax = b
dove a e b sono due numeri reali.
L'equazione ax = b è detta forma normale o canonica delle equazioni di primo grado.
L'equazione ax = b contempla tre possibilità che dipendono dai valori di a e b:
a ≠ 0
L'equazione ha un'unica soluzione, si dice che l'equazione è determinata:
a = 0 e b ≠ 0
L'equazione assume la forma 0x = b e nessun valore di x può soddisfarla; si dice che l'equazione è impossibile.a = 0 e b = 0
L'equazione assume la forma 0x = 0 ed è soddisfatta per ogni valore di x; si dice che l'equazione è indeterminata (cioè è una identità).
