Equazione letterale
Un'equazione è detta letterale o parametrica se oltre all'incognita x contenga anche altre lettere dette parametri. Ad esempio è letterale l'equazione:
2(x + a) − b(x − 3) = 4b
Quando si risolvono queste equazioni, i parametri sono considerati come costanti. Poichè la soluzione di un'equazione letterale è espressa in funzione di uno o più parametri, è necessario esaminare i vari casi che si possono presentarsi al variare di tali parametri (equazione determinata, indeterminata, impossibile). Quando si affronta questo esame si suol dire che l'equazione viene discussa.
Ad esempio, risolviamo l'equazione letterale:2(x + a) − b(x − 3) = 4b
Eseguiamo i prodotti:
2x + 2a − bx + 3b = 4b
Portiamo al secondo membro i termini noti:
2x − bx = 4b − 2a − 3b
Sommiamo i termini simili:
(2 − b)x = b − 2a
Si arriva, così, alla forma normale di un'eqazione parametrica di primo grado. A questo punto è necessaria la discussione per stabilire per quali valori dei parametri l'equazione è determinata, impossibile, indeterminata.
Discussione:
b ≠ 2
In questo caso il coefficiente (2 − b) dell'incognita è diverso da zero e quindi possiamo dividere i due membri dell'equazione per (2 − b); l'equazione è determinata e ha per soluzione:
b = 2
In questo caso l'equazione (2 − b)x = b − 2a diventa:
0x = 2 − 2a
e si hanno due casi in relazione ai valori del parametro a:
a = 1
L'equazione diventa
0x = 0
cioè un'uguaglianza che è sempre vera, quando si assegna a x un qualunque numero. In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata perchè non determina una soluzione.
a ≠ 1
L'equazione diventa:
0x = 2 - 2a
cioè un'uguaglianza che è sempre falsa, quando si assegna a x un qualunque numero. In questo caso si dice che l'equazione è impossibile perchè non ha soluzione.
Utilizzando il simbolismo logico, la discussione si può così sintetizzare:
se b ≠ 2, l'equazione ammette un'unica soluzione;
se b = 2 ∧ a = 1 l'equazione è indeterminata:
se b = 2 ∧ a ≠ 1 l'equazione è impossibile.
