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Duplicazione del quadrato
Fin dall'antichità era noto che il numero √2 permetteva di duplicare l'area di un quadrato di data area. Si conosceva anche un metodo molto semplice per ottenere ciò senza dover determinare numericamente la lunghezza del lato di tale quadrato. Questo metodo fu citato anche da Platone nel Menone. Ad esempio, se si vuole costruire un quadrato di area doppia del quadrato ABCD di lato 8 cm non è necessario determinare la lunghezza del lato del quadrato di area doppia eseguendo la moltiplicazione 8⋅√2 perchè basta costruire il quadrato avente per lato la diagonale BD del quadrato ABCD.
E' anche semplice verificare la correttezza della costruzione.
I triangoli rettangoli ABD, BCD, BCE, ECF, FDC hanno tutti la stessa area, il quadrato ABCD è costituito dalla somma di due di questi triangoli mentre il quadrato BEFD è costituito dalla somma di quattro di questi triangoli. La costruzione del quadrato di area doppia del quadrato ABCD può esere eseguita anche in modo da ottenere i due quadrati con i lati corrispondenti paralleli. In questo caso la lunghezza della diagonale del quadrato ABCD viene riportata sia sul prolungamento del lato AB sia sul prolungamento del lato AD.
La duplicazione del quadrato con il metodo della diagonale può essere utilizzato anche per costruire quadrati di area tripla, di area quadrupla e così via. Ecco ad esempio come si può costruire un quadrato di area tripla del quadrato ABCD.
Naturamente questo metodo può essere utilizzato anche per costruire quadrati con area un mezzo, un quarto, un ottavo, un sedicesimo e così via di quella del quadrato ABCD.
Questo metodo può essere generalizzato per duplicare le aree di altre figure. Vediamo alcuni esempi.
Parallelogramma.
Per duplicare l'area di un parallelogramma ABCD costruiamo un quadrato sui due lati adiacenti AB e AD e poi consideriamo come lati del parallelogramma di area doppia le diagonali dei due quadrati.
Triangolo equilatero.
Per duplicare l'area di un triangolo equilatero ABC costruiamo un quadrato sul lato AB e poi consideriamo come lato del triangolo di area doppia la diagonale del quadrato.
Cerchio.
Per duplicare l'area di un cerchio costruiamo un quadrato circoscritto al cerchio e poi consideriamo come raggio del cerchio di area doppia la semi diagonale del quadrato.
In generale:
Quando due quadrati toccano lo stesso cerchio in quattro punti, uno è il doppio dell'altro.
Quando due cerchi toccano un medesimo quadrato in quattro punti, uno è il doppio dell'altro.
