Radice quadrata di due

La costante di Pitagora

Il numero √2 è chiamato costante di Pitagora perchè fu Pitagora (VI secolo a.C.) o un suo allievo a riscoprire che il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato non è un numero intero; ma addirittura un numero irrazionale.

La radice quadrata di due è stato il primo numero irrazionale conosciuto come tale e la scoperta di questo numero creò un profondo sconvolgimento su tutte le conoscenze della matematica di quel periodo che si fondava sui numeri interi e sulla commensurabilità dei segmenti. Una leggenda narra che il pitagorico Ippaso fu gettato in mare per aver rivelato l'esistenza di questo numero all'esterno della setta pitagorica. Vediamo perchè questo numero ha di fatto cambiato il corso della matematica.

Ad un segmento si può sempre accostare un altro segmento uguale, e poi ancora un altro e così via. Si può così costruire sempre un segmento multiplo a quello di partenza. Ad esempio, il segmento CD, ottenuto accostando tre segmenti uguali ad AB, è il triplo di AB (CD = 3AB).

Si può anche dividere un segmento in due o più parti uguali e poi dividere ogni parte ottenuta in due o più parti uguali e così via. Possiamo così costruire sempre un segmento sottomultiplo a quello di partenza. Ora se consideriamo due segmenti qualsiasi possiamo sempre costruire un segmento sottomultiplo comune ai due segmenti? Intuitivamente, in base alla nostra esperienza pratica, siamo propensi a rispondere di sì. Anche Pitagora credeva che le lunghezze di due segmenti si possono sempre commisurare con una stessa misura. In quel periodo era diffusa l'opinione che tutti i segmenti fossero commensurabili. La commensurabilità fra due segmenti qualsiasi, esprime l'esistenza di un terzo segmento, contenuto esattamente un numero intero di volte sia nel primo, sia nel secondo segmento. Il confronto fra le lunghezze dei due segmenti si può allora rappresentare con un rapporto fra due numeri naturali. Ad esempio, AB e CD hanno come misura comune il segmento u; AB = 2u, CD = 3u.

Il confronto fra AB e CD è quindi esprimibile con la frazione 2/3.

Quale ragionamento giustificava la commensurabilità dei segmenti? In quel periodo era naturale identificare gli "oggetti" geometrici come degli oggetti materiali. Un punto geometrico era immaginato come un piccolissimo granello di sabbia con le dimensioni piccole ma finite. Il segmento a sua volta era formato da un numero finito di questi granelli posti uno accanto all'altro come tante perline di una collana.

Questa visione ingenua degli enti geometrici non dovrebbe sorprenderci. Sul monitor di un computer, il punto è rappresentato con un puntino luminoso (pixel) e il segmento come un insieme di tanti puntini luminosi posti uno accanto all'altro. Ora quando il puntino luminoso è isolato il nostro occhio riesce a distinguerlo e lo percepisce come un punto. Nel caso del segmento, poichè questi puntini luminosi sono così piccoli e ravvicinati, il nostro occhio non riesce a distinguerli, e quindi l'immagine che noi percepiamo è quella di un segmento continuo, uniforme, "compatto" e non composto da tanti puntini. Anche le immagini che vediamo con un televisore sono formate da tanti puntini luminosi colorati eppure il nostro occhio non riesce a distinguerli. In quel periodo non c'erano nè i computer nè i televisori ma c'erano i mosaici. Osservando da lontano un mosaico non abbiamo la sensazione che l'immagine è stata costruita accostando tante piccole pietrine colorate.

Considerare un segmento, come un'entità "granulare" formata da un numero finito di punti, permetteva, da un punto di vista teorico, di poter esprimere la lunghezza del segmento con il numero dei punti. Era, quindi possibile far corrispondere ad un segmento un dato numero naturale, e viceversa ad un numero naturale era possibile far corrispondere un dato segmento (corrispondenza biunivoca). Così il confronto fra le lunghezze di due segmenti poteva essere rappresentato dalla frazione:

Con questo ragionamento, due segmenti qualsiasi dovevano per forza avere un segmento sottomultiplo comune. Nel caso meno favorevole, questo terzo segmento era costituito da un solo punto. Il punto era quindi il sottomultiplo comune a tutti i segmenti. Questo ragionamento aveva anche un riscontro aritmetico: dati due numeri naturali, esiste sempre almeno un divisore comune, infatti, ogni numero naturale è divisibile per 1. Ad esempio, 16 e 24 hanno come divisori comuni 1, 2, 4, 8 mentre 10 e 27 hanno come divisore comune solo 1. La commensurabilità dei segmenti stabiliva che i numeri naturali erano piì che sufficienti per esprimere il confronto fra due grandezze geometriche omogenee. I numeri naturali erano quindi sufficienti per indicare la lunghezza di un segmento, l'area di una superficie o il volume di un solido. In quel periodo in Grecia non esisteva il sistema di numerazione decimale, i numeri utilizzati erano gli interi positivi senza lo zero. Quest'ultimo non era considerato un numero. Una frazione non era considerata un'entità unica e quindi un numero (numero razionale). Non esistevano dei procedimenti di calcolo per eseguire le quattro operazioni con le frazioni. La commensurabilità stabiliva uno stretto legame fra la geometria e l'aritmetica ed esaltava il ruolo dei numeri naturali. Tutto ciò era in armonia con il pensiero filosofico di Pitagora. William Dunham nel suo libro Viaggio attraverso il genio afferma:

L'assunto della commensurabilità di tutti i segmenti era un asse centrale del pensiero pitagorico, sia da un punto di vista strettamente matematico (essi usavano questa nozione per dimostrare i teoremi sui triangoli simili), che da quello filosofico (perchè confermava il ruolo essenziale dei numeri interi nell'ordine del mondo).

Per Pitagora c'era una stretta corrispondenza tra l'aritmetica dei numeri interi e la geometria. Sia il punto sia l'unità erano quantità indivisibili in ogni verso, il punto però aveva una qualità che l'unità non aveva: l'estensione. Secondo Aristotele (384-322 a. C.) la definizione pitagorica era:

Punto è l'unità avente posizione

Il punto era l'origine degli enti geometrici (la linea è composta da punti e il piano è formato da linee), e l'unità o monade era l'origine di tutti i numeri interi (ogni numero intero è composto da unità). L'unità era rappresentata con un punto e il punto era identificato con l'unità. I numeri erano raffigurati mediante punti o sassolini disposti sulla sabbia. I sassolini disposti in vari modi formavano delle figure geometriche.

Pertanto un numero era classificato secondo la forma geometrica che assumeva quando era rappresentato con i sassolini. Ad esempio, il 3 era un numero triangolare perchè i tre sassolini potevano essere disposti in modo da formare un triangolo, il 4 era un numero quadrato, i quattro sassolini potevano essere disposti in modo da formare un quadrato. I numeri avevano quindi un carattere aritmetico (un insieme di unità) e geometrico (un insieme di punti). Inoltre, i numeri naturali erano fondamentali per scoprire e capire i fenomeni naturali. Pitagora aveva scoperto alcune semplici leggi della musica: era possibile ottenere dei suoni piacevoli, quando i rapporti fra le lunghezze delle corde vibranti erano esprimibili con numeri interi semplici. Il suo motto era "tutto è numero" che possiamo tradurre in "tutto il mondo fisico puà essere compreso con la matematizzazione". Morris Kline nel suo libro Storia del pensiero matematico afferma:

Aristotele dichiara che i pitagorici consideravano i numeri come le componenti ultime degli oggetti reali e materiali. I numeri non avevano un'esistenza distinta dagli oggetti sensibili. Quando i primi pitagorici dicevano che tutti gli oggetti sono composti da numeri (interi) o che i numeri sono l'essenza dell'universo, essi intendevano ciò in senso letterale, perchè per loro i numeri erano quello che per noi sono gli atomi.

Consideriamo il quadrato ABCD con il lato di 1 unità e tracciamo la diagonale BD. Abbiamo così diviso il quadrato in due triangoli rettangoli.

Applichiamo, al triangolo rettangolo ABD, il teorema di Pitagora per determinare l'ipotenusa BD.

BD² = AB² + AD² = 1² + 1² = 2

Cioè

BD = √2

Il rapporto fra la diagonale e il lato del quadrato è allora

Ora √2 è il risultato del rapporto fra due lunghezze: BD e AD. In base alla commensurabilità dei segmenti, tale rapporto deve essere esprimibile con una frazione. Quindi dovrebbero esistere due numeri interi a e b tali che si abbia:

Ma nonostante gli innumerevoli tentativi furono individuate solo frazioni o minori o maggiori di √2. Frazioni che si avvicinavano sempre di più, per difetto o per eccesso, al valore della radice quadrata di 2.

Fu anche scoperta una semplice regola per passare da una frazione alla successiva. Se la frazione

è un'approssimazione per difetto (o per eccesso) allora la frazione

è un'approssimazione per eccesso (o per difetto) migliore. Ad esempio, la frazione 99/70 è un'approssimazione per eccesso, allora la frazione

è un'approssimazione per difetto migliore. Con questa regola si possono ottenere infinite frazioni ma nessuna di queste esprime il valore esatto della radice quadrata di due. Venne allora il sospetto che non è possibile mettere √2 sotto forma di frazione. In altri termini il rapporto tra i quadrati di due numeri interi non può mai essere uguale a due. Poco tempo dopo, fu effettivamente dimostrata tale impossibilitò. Questa dimostrazione, che alcuni attribuiscono a Pitagora è importantissima per due motivi:

• segna la data di nascita dei numeri irrazionali;

• è la prima dimostrazione per assurdo.

Cos'è una dimostrazione per assurdo? Si assume per vera la proprietà che si vuole dimostrare falsa, e con una serie di ragionamenti, si arriva poi ad una contraddizione, cioè a una conclusione assurda. Pertanto l'assunzione iniziale non è vera ma falsa. Vediamo questa dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che esista una frazione ridotta ai minimi termini, tale che

Elevando al quadrato i due membri si ha

Questa uguaglianza indica che m² deve essere un numero pari, perchè è il doppio di un altro numero. Ne segue che anche il numero m è pari e dunque può essere scritto nella forma m = 2k. Possiamo allora scrivere

(2k)² = 2n²

Cioè

4k² = 2n²

Dividendo per 2 i due membri dell'ultima uguaglianza si ottiene

2k² = n²

Questo significa che n² e quindi n sono pari.

Siamo dunque arrivati ad una conclusione assurda: m ed n sono, entrambi numeri pari. Ciò non è possibile perchè si è supposto che la frazione fosse ridotta ai minimi termini e dunque numeratore e denominatore non possono avere divisori in comune. Dobbiamo allora accettare il fatto che √2 non è un numero razionale. Questa scoperta fu sorprendente ed ebbe un enorme impatto su tutta la costruzione matematica di quel periodo. Produsse gli stessi effetti di un terremoto, molti edifici tremarono, alcuni furono gravemente lesionati, e tanti crollarono al suolo. Quest'evento ha radicalmente cambiato la matematica. William Dunham afferma:

La scoperta ebbe conseguenze importanti. Intanto spazzò via tutte le dimostrazioni pitagoriche che si basavano sulla supposta commensurabilità di tutti i segmenti. Ci sarebbero voluti almeno due secoli prima che il matematico Eudosso trovasse un modo per rifondare la teoria dei triangoli simili, congegnando delle dimostrazioni alternative non basate sul concetto di commensurabilità.

La rifondazione di Eudosso di Cnido (408-355 a. C.) ò logicamente ineccepibile e rigorosa ma ò anche complessa. Non ò quindi un caso che Euclide abbia voluto svincolare il teorema di Pitagora dalla teoria dei triangoli simili. Vediamo allora le conseguenze di questa scoperta da due punti di vista: quello geometrico e quello aritmetico.

• Punto di vista geometrico.
  
  La diagonale e il lato del quadrato sono segmenti incommensurabili e quindi non hanno un segmento sottomultiplo comune. In generale, non è vero che due segmenti sono sempre commensurabili. Questa verità è in netto contrasto con la nostra esperienza quotidiana o con il nostro intuito: se misuriamo il bordo e la diagonale del piano di un tavolo quadrato otteniamo due misure commensurabili.

  

  Ma, attenzione, la misurazione fatta in senso fisico con uno strumento, fornisce sempre un valore approssimato. Le nostre misure sono commensurabili solo perchè sono approssimate. Si capì allora, che non bisognava fidarsi dell'esperienza pratica o dell'intuizione, gli "oggetti" geometrici come il punto, la linea, la superficie, non possono essere considerati come degli oggetti materiali, concreti. Tobias Dantzig nel suo libro Il numero linguaggio della scienza afferma:
  
  Il concreto ha sempre preceduto l'astratto ... il concreto è sempre stato il più grande ostacolo su cui ha inciampato l'evoluzione di una scienza.
  
  Prima della scoperta dell'incommensurabilità dei segmenti la geometria greca non era completamente razionale, molte conoscenze erano ancora influenzate dalla esperienza pratica. C'era una sorta di simbiosi tra una geometria intuitiva e una geometria razionale. L'incommensurabilità dei segmenti, provocò una profonda crisi perchè era inconciliabile con il punto dotato di dimensioni e con la concezione granulare del segmento. Ebbe così inizio una revisione radicale della geometria, che non fu semplice e richiese quasi duecento anni. Una vera rivoluzione, che alla fine fece nascere una nuova geometria. Una geometria svincolata dagli oggetti materiali e da operazioni concrete, una geometria dove non erano più evidenti le sue origini concrete e pratiche, una geometria "innaturale" ma purificata dalle contraddizioni. La geometria fu considerata un'attività intellettuale e un metodo per scoprire nuove conoscenze. C'è un famoso aneddoto su Euclide, riferito da Stobeo, che mette in evidenza questa concezione della geometria come scienza pura non contaminata dalle applicazioni pratiche. Un discepolo, dopo aver appreso i primi teoremi chiese a Euclide:
  
  Maestro, quale utile ricaverò imparando la geometria?.
  
  Euclide chiamò un servo, e gli ordinò di dare una moneta all'incauto discepolo e poi di allontanarlo dalla scuola, perchè voleva trarre profitto da ciò che imparava. Gli oggetti geometrici come il punto, la linea e la superficie furono definiti in modo da non poter più essere identificati con degli oggetti concreti. Diventano degli oggetti astratti, immateriali che non esistono fisicamente in natura, diventano degli oggetti ideali che possiamo solo immaginare. Il punto non ha dimensioni. La linea ha una sola dimensione, la lunghezza. La superficie ha solo due dimensioni la lunghezza e la larghezza. La scoperta dei segmenti incommensurabili e quindi la necessità di considerare il punto senza dimensioni non fu accolta senza qualche resistenza e fu tenuta segreta per un pò di tempo. Secondo una leggenda fu Ippaso di Metaponto, un discepolo di Pitagora a divulgarla e per questo motivo Giove, il padre degli dei, per punirlo lo fece morire in un naufragio. Euclide negli Elementi così definì gli enti primitivi:

  • Punto è ciò che non ha parti.

  • Linea è lunghezza senza larghezza.

  • Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza

  Non riusciremo mai a disegnare o a costruire dei modelli concreti che non hanno parti, che non hanno larghezza, che non hanno spessore. Platone (427-347 a. C.) nel suo libro la Repubblica afferma:
  
  Per quanto i matematici si servano di figure visibili e ragionino su di esse, tuttavia non a queste figure essi pensano, ma a ciò che le figure rappresentano; così è il quadrato in sè e la diagonale in sè che costituiscono l'oggetto delle loro argomentazioni, non ciò che essi disegnano. Nello stesso modo, tutte le figure alle quali danno forma e disegnano sono da loro utilizzate come immagini
  
  Non potendo, costruire degli oggetti geometrici astratti, non possiamo nemmeno accettare come vera una proprietà geometrica dimostrata solo sperimentalmente. Per fare un esperimento è necessario utilizzare dei modelli concreti che sono molto diversi dai corrispondenti modelli astratti. Per dimostrare le proprietà degli oggetti astratti bisogna utilizzare un metodo astratto, un metodo basato esclusivamente sul ragionamento logico. Da allora per i matematici questa è diventata una regola fissa da seguire scrupolosamente: un teorema è accettato come tale solo se è stato dimostrato, in modo rigoroso, con un ragionamento logico. L'incommensurabilitò ha trasformato la matematica in una scienza particolare, in una scienza astratta diversa dalle altre scienze come la fisica, la chimica, la biologia, ecc. che progrediscono utilizzando prove sperimentali fatte su oggetti reali. Ma una geometria così astratta ha il vantaggio della generalità. I ragionamenti sulle figure astratte sono universali, valgono per tutte le figure che hanno le stesse caratteristiche.

• Punto di vista aritmetico
  
  Per esprimere il rapporto tra due lunghezze i numeri naturali sono inadeguati, occorrono altri tipi di numeri: i numeri irrazionali. Purtroppo i greci non avevano il concetto di numero irrazionale e non sapevano come rappresentarli. Il teorema di Pitagora aveva messo in evidenza l'esistenza di segmenti incommensurabili. Da un punto di vista geometrico, l'incommensurabilità, mette in evidenza il conflitto fra il concreto e l'astratto. I greci furono in grado di dominare questo conflitto. Definirono gli enti geometrici come oggetti non concreti e utilizzarono un metodo dimostrativo astratto. L'incommensurabilità da un punto di vista aritmetico mette in evidenza il conflitto tra il discreto e il continuo. Il conflitto fra grandezze che possono assumere solo certi valori e grandezze che possono assumere qualsiasi valore. Le grandezze discrete hanno sempre un sottomultiplo comune mentre le grandezze continue non sempre hanno un sottomultiplo comune. I numeri naturali sono adatti a rappresentare solo le grandezze discrete. Per le grandezze continue sono necessari altri numeri, numeri più complessi, numeri più astratti di quelli naturali. Con i numeri naturali è possibile contare le persone, i libri di una biblioteca, gli oggetti, ma non i punti di un segmento. I greci non furono in grado di dominare questo conflitto, non furono in grado di inventarsi questi numeri più astratti. Non riuscirono a liberarsi dalla concezione pitagorica che reputava i numeri come degli oggetti concreti e non delle entità astratte, degli oggetti logici. Il matematico Leopold Kronecher (1823-1891) disse:
  
  Dio creò i numeri interi, il resto è opera dell'uomo
  
  Possiamo paragonare l'insieme dei numeri naturali ad una vecchia coperta che dopo continui lavaggi si è a poco a poco ristretta. Ora, questa coperta non riesce più a coprire completamente il letto. E' inutile tirarla dai bordi del letto, perchè ci sarà sempre una zona del letto scoperta. Se vogliamo ricoprire di nuovo tutto il letto non ci resta che ampliare la nostra vecchia coperta. Se i numeri naturali non sono più sufficienti per i nostri scopi allora bisogna ampliarli. Bisogna ampliare il concetto di numero in modo da includervi altri numeri. Ma questo ragionamento non fu preso in considerazione dai greci. Bisogna anche dire che i greci non avevano gli strumenti matematici adatti per questi nuovi numeri. Noi sappiamo che un numero irrazionale è un numero decimale illimitato non periodico. Ad esempio il numero irrazionale

  √2 = 1,4142135623730950488016887242096980785697...

  ha infinite cifre decimali che non si ripetono secondo una data regola. I greci avevano un sistema di rappresentazione dei numeri troppo complicato: era additivo e non posizionale e non includeva lo zero.