Un viaggio tra forme e trasformazioni
La dissezione geometrica è un affascinante ramo della matematica che si occupa di suddividere una figura geometrica (o di un insieme finito di figure) in pezzi più piccoli, che possono essere disposti in modo diverso per formare un'altra figura geometrica (o un insieme finito di figure). Questo concetto, che unisce creatività e rigore matematico, ha radici antiche e applicazioni pratiche che spaziano dai puzzle geometrici alla progettazione industriale. E' stato dimostrato che se la figura da scomporre e la figura da ricomporre sono poligoni, allora esiste sempre una dissezione che impiega un numero finito di pezzi. Ci sono molti modi per suddividere un poligono in vari pezzi e utilizzarli per formare un altro dato poligono ma la vera sfida è quella di minimizzare il numero dei pezzi. A rendere popolare le dissezioni fu il matematico e scrittore Henry Dudeney (1857-1930), che pubblicò nel 1902 sul giornale quotidiano Weekly Dispatch' il problema: come si può tagliare un triangolo equilatero in quattro pezzi da ricomporre per formare un quadrato?
Questo problema è apparentemente molto semplice da essere compreso anche dalle persone comuni, in fondo per risolverlo bastano pochi strumenti: un foglio di carta, una matita, un righello, un compasso e una forbice. Molti lettori del giornale si appassionarono al quesito e tentarono di risolverlo coinvolgendo anche altre persone. Ecco l'elegante soluzione di Dudeney:
Vediamo la costruzione della scomposizione del triangolo equilatero in quattro parti.
- Sia ABC il triangolo equilatero;
- siano D, E i punti medi di AC e CB.
- si traccia AE e sia F un punto sul prolungamento AE in modo che EF=EC;
- sia G il punto medio di AF;
- puntando in G si traccia il semicerchio di raggio AG;
- sia H il punto in cui il prolungamento di BC incontra il semicerchio;
- puntando in E si traccia l'arco di circonferenza di raggio EH fino a incontrare il lato AB nel punto I;
- sia J il punto sul segmento IB in modo che IJ=AD;
- per D e J i tracciano le perpendicolari DL e JK a IE.
La bellezza e la notevole curiosità di questo problema è che i quattro pezzi possono essere incernierati a due a due in un vertice creando una catena che:
- chiudendola in un verso dà il triangolo equilatero;
- e chiudendola nell'altro verso dà il quadrato.
Il designer Maty Grunberg fu attratto da questa particolarità e la utilizzò per realizzare un tavolo pieghevole da triangolo a quadrato.
