La dissezione di Wafa
Semplici problemi sulla dissezione erano già noti agli antichi greci ma il primo libro sull'argomento fu scritto da Abul Wafa un astronomo persiano del X secolo. Di questo libro sono rimasti solo alcuni frammenti tra cui l'interessante problema di dissezione:
Come si possono suddividere tre quadrati identici nel minor numero di pezzi per poi ricomporli in un solo quadrato più grande?
La soluzione di Wafa prevede di dividere i tre quadrati in nove parti: due quadrati sono tagliati, ciascuno lungo una diagonale in due parti congruenti fra loro (triangoli rettangoli isosceli). Poi i quattro triangoli rettangoli vengono posti intorno al quadrato non ritagliato accostando ciascun lato del quadrato con ciascuna ipotenusa dei triangoli. Il quadrato grande, somma dei tre quadrati, è ottenuto unendo i vertici posti nell'angolo retto dei triangoli rettangoli. Le linee tratteggiate mostrano gli altri quattro pezzi che si ottengono tagliando i quattro triangoli rettangoli.
La soluzione di Wafa fu migliorata solo nel XIX secolo dal matematico dilettante Henry Perigal (1801-1898) dividendo i tre quadrti in solo sei pezzi un record tuttora imbattuto. Questa soluzione fu successivamente resa celebre da Henry Dudeney. Invece di trattare i tre quadrati separatamente, Perigal li unisce in modo da formare un rettangolo con la base tripla dell'altezza.
In questo modo intuisce che è possibile tagliare i quadrati in parti più grandi e meno numerosi. Ecco la soluzione di Perigal:
Vediamo la costruzione della scomposizione dei tre quadrati:
- Sia ABCD il rettangolo somma dei tre quadrati;
- si prolunga AB in modo che sia BE=BC;
- sia BF il segmento medio proporzionale tra AB e BE;
- sia AH e CG tali che AH=CG=BF;
- si traccia il segmento DH;
- si tracccia la perpendicolare a CD passante per G fino a incontrare il segmento DH.
In questo modo si ottengono tre trapezi rettangoli, 2 triangoli rettangoli e un quadrato che disposti in modo diverso formano il quadrato somma.
E' bene sottolineare che il quesito di Wafa non chiede di costruire un quadrato equivalente alla somma di tre quadrati identici ma di costruire un quadrato equiscomponibile con tre quadrati identici più piccoli. I due problemi sono molto diversi e il primo è più semplice del secondo e può essere risolto con il teorema di Pitagora come si vede in figura:
