Sovrapposizione tassellare
La dissezione per sovrapposizione tassellare è un metodo molto proficuo per passare facilmente da un poligono all'altro. In pratica, per trasformare un poligono A nel poligono B, si utilizza il seguente metodo:
Passo1: Si prende il poligono A e lo si utilizza come una "piastrella" per piastrellare un pavimento. In altre parole, accostando i poligoni A lato-lato senza sovrapposizione e senza buchi si riempie il piano. Questo processo viene chiamato tassellazione o pavimentazione.
- Passo 2: Si prende il poligono B e si crea una seconda pavimentazione.
- Passo 3: si sovrappongono le due pavimentazioni.
Dove le linee della prima pavimentazione incrociano quelle della seconda pavimentazione, si creano i piccoli pezzi della scomposizione dei due poligoni. Infatti, si può facilmente osservare che i pezzi che compongono un singolo poligono A sono gli stessi identici pezzi che, per traslazione, riempiono perfettamente anche lo spazio del poligono B.
Il segreto per ridurre il numero dei pezzi sta nel ruotare o traslare le due pavimentazioni finchè le linee coincidono il più possibile eliminando i pezzi più piccoli. Ma vediamo alcuni esempi.
- Dissezione di un poligono a forma di croce in un quadrato.
Creiamo una pavimentazione con il primo poligono.
Creiamo una pavimentazione con il secondo poligono.
Sovrapponiamo opportunamente le due pavimentazioni.
Ed ecco la dissezione dal poligono croce al quadrato.
- Dissezione di un ottagono regolare in un quadrato.
In questo caso bisogna utilizzare un piccolo trucco perchè non è possibile tassellare il piano con gli ottagoni regolari. Il trucco consiste nel tassellare il piano con ottagoni regolari e quadrati. Questo comporta che anche la seconda tassellatura deve contenere sia i quadrati equivalenti all'ottagono regolare sia i quadrati congruenti a quelli utilizzati nella prima pavimentazione. Ecco cosa si ottiene dalla sovrapposizione tassellare.
Ne segue che dividendo un ottagono regolare in cinque parti e disponendo diversamente queste parti si ottiene un quadrato.
- Infinite dimostrazioni visive del teorema di Pitagora.
Questo metodo non รจ solo un gioco: E' usata per dimostrare teoremi, come il teorema di Pitagora. Permette di trovare il numero minimo di tagli necessari per trasformare un poligono in un altro. E' alla base di molte opere d'arte geometrica come i lavori di Escher. In sintesi la sovrapposizione tassellare ci dice che se due forme possono piastrellare il piano allo stesso modo, allora sono composte dagli stessi "atomi" geometrici. Basta solo ricomporli.
