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Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia

Il simbolo:

(con n e k numeri naturali e n ≥ k), si chiama coefficiente binomiale di n su k e il suo valore è dato da:

Al coefficiente binomiale sono state attribuite varie definizioni perchè permette di risolvere diverse tipologie di problemi (combinatori, insiemistici, algebrici) apparentemente diversi.

• Il coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi di classe k. Ad esempio, il numero delle combinazioni di 5 elementi presi in gruppi di 2 è:

  

• Il coefficiente binomiale rappresenta il numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono formare da un insieme che contiene n elementi. Ad esempio, il numero di sottoinsiemi di 2 elementi presi da un insieme costituito da di 5 elementi (A = {a, b, c, d, e}) è uguale a 10.

  {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c},

  {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e}

Il matematico e fisico inglese Isaac Newton (1642-1727) utilizzò i numeri

per indicare i coefficienti dello sviluppo di una potenza di un binomio

(a+b)ⁿ

da qui il nome che viene loro attribuito di coefficiente binomiale. Vediamo allora quale relazione esiste tra lo sviluppo di un binomio e i coefficienti binomiali. Consideriamo le prime potenze di un binomio.

Che cosa notiamo? Lo sviluppo della potenza n-esima contiene la somma di tutti i possibili monomi di grado n che si possono formare con le lettere a e b, ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b. La regola che ci consente di generare i coefficienti numerici dei vari monomi è meno evidente; diventa evidente, però, se si considera la struttura che prende il nome di triangolo di Tartaglia, dal nome del matematico italiano del '500 che la utilizzò per primo.

Le righe della struttura iniziano e finiscono con 1, ogni altro elemento si ottiene sommando i due numeri della riga precedente che sono alla sua sinistra e alla sua destra. Come si può facilmente osservare, i numeri di ogni riga del triangolo di Tartaglia sono i coefficienti delle potenze del binomio. Ad esempio, i coefficienti numerici dello sviluppo di (a+b)⁵ sono i numeri che si trovano nella quinta riga del triangolo di Tartaglia.

Scriviamo in modo ordinato tutti i coefficienti binomiali:

Se consideriamo i casi particolari

e sostituiamo al posto dei coefficienti binomiali il loro valore calcolato applicando la formula otteniamo la stessa struttura del Triangolo di Tartaglia. Questo significa, ad esempio, che lo sviluppo di (a+b)⁵ può essere scritto utilizzando i coefficienti binomiali.

E in generale lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio può essere espresso con la formula di Newton:

dove il simbolo

indica la somma dei termini che si ottengono quando k varia da 0 a n.

Dalle proprietà del triangolo di Tartaglia si possono dedurre interessanti proprietà dei coefficienti binomiali.

• Dalla simmetria delle righe in cui i numeri equidistanti dagli estremi sono uguali si deduce la legge delle classi complementari

  

  Applicando la definizione di coefficiente binomiale si ha:

  

  Ad esempio, se consideriamo le combinazioni di 5 elementi presi a gruppi di k (con k che varia da 0 a 5) si hanno le seguenti uguaglianze:

  

  Se A è un insieme con n elementi per ogni sottoinsieme da k elementi esiste il sottoinsieme complementare che ha n-k elementi. Ad esempio, il complementare di A = {a, b, c, d, e} è l'insieme vuoto e il complementare di {a, b} è l'insieme {c, d, e}.

• Dalla regola di costruzione del triangolo di Tartaglia (ogni elemento diverso da 1 si ottiene sommando i due numeri della riga precedente che sono alla sua sinistra e alla sua destra) si deduce la formula di Stifel (Michael Stifel 1487-1567 matematico tedesco)

  

  Applicando la definizione di coefficiente binomiale al secondo membro si ha:

  

  Ad esempio, il numero delle combinazioni di 5 elementi presi a gruppi di 3 sono uguali alla somma delle combinazioni di 4 elementi presi a gruppi di 2 con le combinazioni di 4 elementi presi a gruppi di 3.

  

• Dalla somma dei numeri di una stessa riga (le somme dei numeri di ogni riga sono potenze di 2) si deduce la legge delle somme dei coefficienti binomiali:

  

  Ad esempio, il numero di tutte le combinazioni di 5 elementi presi a gruppi di k con k che varia da 0 a 5 sono uguali a 2⁵=32.