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Combinazioni con ripetizioni
Supponiamo di avere sei penne indistinguibili e tre portapenne distinti e di voler distribuire le penne nei portapenne.
Ora, chiediamoci:
In quanti modi diversi posso distribuire le 6 penne nei 3 portapenne? Ogni portapenne può contenere da 0 a 6 penne.
Nel calcolo combinatorio, il numero dei gruppi che si possono formare con k degli n elementi (con k maggiore o minore o uguale a n) in modo che ogni gruppo contenga esattamente k elementi, ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte in ogni gruppo e ogni gruppo differisca dagli altri per almeno un elemento e non per l'ordine, prendono il nome di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k e si indica con il simbolo: C'n,k.
Se indichiamo con a, b, c i tre portapenne, ogni modo in cui possiamo distribuire le penne può essere rappresentato da una sequenza di sei lettere prese una per ogni penna inserita nel corrispondente portapenne. Ad esempio, se mettiamo 3 penne in a, 2 in b e 1 in c
possiamo rappresentare ciò con la sequenza aaabbc. Possiamo quindi rappresentare le combinazioni con ripetizione relative alla distribuzione di 6 penne nei tre portapenne con le possibili sequenze di sei lattere
Queste sequenze sono in tutto 28 e quindi C'3,6=28. Vediamo come possiamo ottenere una formula che ci permette di determinare direttamente il numero delle combinazioni con ripetizione senza dover contarle o rappresentarle con una sequenza. Supponiamo di avere una sola penna e tre portapenne e di voler inserire la penna in un portapenne. In questo caso n = 3, k = 1 e C'3,1=3
Ora, teniamo fisso i tre portapenne (n = 3) e incrementiamo di volta in volta di 1 il numero delle penne da inserire nei portapenne.
Per n = 3 e k = 2 si ha che C'3,2 = 6
Per n = 3, k = 3 si ha che C'3,3 = 10.
Per n = 3, k = 4 si ha che C'3,4 = 15.
Per n = 3, k = 5 si ha che C'3,5 = 21.
Per n = 3, k = 6 si ha che C'3,6 = 28.
Ora, possiamo facilmente verificare le seguenti relazioni tra n e k
Generalizzando si ha:
