Calcolo combinatorio

Permutazioni circolari

Supponiamo di avere tre tazze una di colore giallo, una di colore verde e una di colore blu e di voler metterle su un tavolo rotondo in modo circolare.

Ora, chiediamoci:

In quanti modi si possono sistemare in modo circolare le tre tazze su un tavolo rotondo?

Nel calcolo combinatorio, il numero degli ordinamenti circolari di n oggetti tutti distinti tra loro presi da un dato insieme di n oggetti prende il nome di permutazioni circolari di n oggetti e si indica con il simbolo P^c_n. Se disponiamo le tre tazze non in circolo ma in fila il numero degli ordinamenti possibili cioè, il numero delle permutazioni semplici sarebbe:

P₃ = 3! = 3⋅2⋅1 = 6

Confrontiamo queste sei permutazioni semplici delle tre tazze con le possibili analoghe sequenze delle le tre tazze in circolo. Che cosa notiamo?

Nelle sei permutazioni semplici è evidente qual è la prima tazza e qual è l'ultima tazza e quindi è possibile stabilire l'ordine con cui si susseguono le tre tazze e questo ci permette di poter dire che le sei permutazioni semplici sono distinte. Nelle sei sequenze delle tazze in circolo invece, non è evidente qual è la prima tazza e qual è l'ultima tazza e quindi non è possibile stabilire l'ordine con cui si susseguone le tre tazze. Con quale criterio possiamo stabilire l'ordinamento delle sequenze circolari? Occorrono due condizioni: sceglire una tazza come punto iniziale e stabilire una rotazione in senso orario (o antiorario). Ad esempio, consideriamo la sequenza circolare 1, prendiamo come riferimento la tazza di colore giallo e indichiamo la rotazione in senso orario:

Ora, con questo criterio è facile stabilire la sequenza delle tazze che è:

sequenza 1: tazza gialla, tazza verde, tazza blu.

Con lo stesso criterio indichiamo l'ordine delle altre sequenze:

sequenza 2: tazza gialla, tazza blu, tazza verde.
sequenza 3: tazza gialla, tazza blu, tazza verde.
sequenza 4: tazza gialla, tazza verde, tazza blu.
sequenza 5: tazza gialla, tazza blu, tazza verde.
sequenza 6: tazza gialla, tazza verde, tazza blu.

Come possiamo verificare le sequenze 1, 4, 6 sono identiche e anche le sequenze 2, 3, 5 sono identiche e quindi le permutazioni circolari delle tre tazze sono un terzo delle permutazioni semplici delle tre tazze:

In generale il numero delle permutazioni circolari di n oggetti è dato dalla formula: