Calcolo combinatorio

Disposizioni semplici

Supponiamo di avere quattro tazze distinte (una gialla, una bianca, una verde e una blu) e di voler formare una coppia ordinata di due tazze distinte.

Ora, chiediamoci:

In quanti modi possiamo formare una coppia ordinata di due tazze distinte scelte tra quattro tazze distinte?

Nel calcolo combinatorio, il numero dei gruppi distinti di k oggetti che è possibile formare a partire da n oggetti (con k≤n) considerando come distinti due gruppi se differiscono o per qualche oggetto o per l'ordine prendono il nome di disposizioni semplici di n oggetti di classe k e si indica con il simbolo D_n,k. Il termine "classe k" sta a indicare che ogni gruppo è costituito da k oggetti.

Come si può vedere dal grafo ad albero la prima tazza della coppia ordinata può essere scelta in quattro modi diversi (tazza gialla o bianca o verde o blu) e, in corrispondenza di ciascuna di tali quattro scelte, vi sono tre possibilità di scegliere la seconda tazza della coppia. Ad esempio, se la prima tazza scelta è quella gialla la seconda tazza deve essere scelta tra quelle rimanenti assia tra la tazza bianca o verde o blu.

In tutto vi sono perciò 4⋅3=12 sequenze ordinate di due tazze scelte tra le quattro tazze assegnate e quindi nel nostro caso le disposizioni semplici D_4,2 di 4 tazze distinte prese a 2 a 2 sono:

D_4,2 = 4⋅3=12

Possiamo anche dire che il numero delle disposizioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 è uguale al prodotto di 2 numeri interi consecutivi decrescenti di 1 a partire da 4.

Da questa osservazione si intuisce che se le quattro tazze fossero prese non a 2 a 2 ma a 3 a 3 il numero delle disposizioni semplici di 4 tazze di classe 3 sarebbero uguale al prodotto di 3 numeri numeri interi consecutivi decrescenti di 1 a partire da 4.

D_4,3 = 4⋅3⋅2=24

In generale dati n oggetti distinti il numero delle possibili sequenze ordinate di k oggetti, scelti tra gli n assegnati con il vincolo di non ripetere gli oggetti è dato da:

D_n,k = n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅ ... ⋅(n-k+1)

Cioè il numero delle disposizioni semplici di n oggetti presi a k a k è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti di 1 a partire da n. La formula delle disposizioni semplici può assumere anche un'altra forma più semplice da ricordare che si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per (n-k)!

Nel caso in cui k = n si hanno le disposizioni semplici di n oggetti di classe n e tali disposizioni non sono altro che le permutazioni semplici di n oggetti.

Tenendo conto che (n-n)!=0!=1. Possiamo quindi dire che le permutazioni semplici di n oggetti sono un caso particolare delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k: