Calcolo combinatorio

Combinazioni semplici

Supponiamo di avere quattro tazze distinte e di voler prenderne tre.

Ora, chiediamoci:

avendo a disposizione 4 tazze distinte in quanti modi possiamo formare una terna di tazze distinte se non consideriamo l'ordine con cui vengono prese?

Nel calcolo combinatorio, il numero dei gruppi distinti di k oggetti che è possibile formare a partire da n oggetti (con k≤n), considerando come distinti due gruppi se differiscono per almeno un oggetto e non per l'ordine, prendono il nome di combinazioni semplici di n oggetti di classe k e si indica con il simbolo C_n,k che si legge combinazioni di n elementi di classe k.

Avendo a disposizione 4 tazze distinte, consideriamo tutte le terne di tazze distinte tenendo conto dell'ordine con cui vengono prese. Otteniamo cosí le disposizioni semplici di 4 tazze di classe 3 che sono:

Se però non consideriamo l'ordine con cui vengono prese le terne di tazze allora ogni gruppo di sei terne essendo costituite dalle stesse tre tazze permutate sono da considerare combinazioni semplici equivalenti. Ad esempio, le sei terne di tazze

Pur essendo diverse per l'ordine sono costituiti dalle stesse tazze e quindi non differiscono tra loro. In altre parole, queste sei terne di tazze sono equivalenti e sono le sei permutazioni delle stesse tre tazze e rappresentano un'unica combinazione semplice. Questo significa che le combinazioni di 4 tazze a gruppi di tre sono esattamente 1/6 delle relative disposizioni. Nelle 24 disposizioni semplici ci sono, quindi, solo 4 terne di tazze distinte che differiscono per almeno una tazza e non per l'ordine con cui vengono prese.

Pertanto il numero di combinazioni semplici di 4 tazze di classe 3 sono il numero di disposizioni semplici di 4 tazze prese a gruppi di 3 diviso per il numero di permutazioni delle 3 tazze prese in ciascun gruppo.

In generale:

Il numero delle combinazioni semplici di classe k che si possono formare con n elementi distinti è uguale al prodotto di k numeri interi decrescenti a partire da n, diviso per il prodotto dei primi k numeri interi, cioè per il fattoriale di k.

Per indicare il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, spesso si utilizza anche il simbolo:

che si legge n su k e prende il nome di coefficiente binomiale. Ad esempio per indicare il numero delle combinazione di 5 elementi di classe 3 si scrive