Equazioni goniometriche lineare in seno e coseno
Le equazioni goniometriche del tipo:
asin x + bcos x + c = 0
dove a, b, c sono numeri reali con a ≠ 0 e b ≠ 0 sono dette equazioni goniometriche lineari. Le equazioni goniometriche lineari si risolvono mediante tre metodi distinti:
- con le formule parametriche;
- con l'angolo aggiunto;
- con un grafico.
Vediamo che applicando questi tre metodi ad una stessa equazione si ottiene lo stesso risultato.
Risolviamo l'equazione:
- Primo metodo: con le formule parametriche.
Utilizzando le relazioni:
(ricordando che t = tan x/2) l'equazione iniziale diventa:
E risolvendo rispetto a t si ha:
E ritornando alla variabile x si ottengono le due equazioni elementari:
le cui soluzioni sono:
- Secondo metodo: angolo aggiunto.
Questo metodo permette di trasformare l'espressione asinx + bcosx nella forma elementare rsin(x+α). Per risolvere l'equazione asinx+bcosx+c=0 si divide primo e secondo membro per √(a2+b2) ottenendo l'equazione:
E dato che:
Poniamo:
E utilizzando la formula di addizione l'equazione diventa:
Cioè un'equazione elementare che si risolve facilmente.
Nel nostro caso a = 1 e b = -1 quindi:
Dividendo entrambi i membri per √2 otteniamo:
Si ha:
L'equazione iniziale è quindi equivalente all'equazione elementare:
Che ha soluzioni
- Terzo metodo: grafico.
Questo metodo permette di trasformare un'equazione lineare in seno e coseno in un problema di geometria analitica mediante i seguenti passi:
Si associa all'equazione lineare la relazione fondamentale sin2x+cos2=1 in modo da ottenere il sistema:
Poi ponendo cosx = X e sinx = Y si ottiene il sistema algebrico:
Questo sistema può essere risolto graficamente determinando i punti di intersezione tra la retta Y=X-1 e la circonferenza goniometrica:
Le soluzioni del sistema sono quindi:
X=0, Y=-1 e X=1, Y=0
Che corrispondono agli angoli di 0 e 3/4 Π per cui le soluzioni sono:
