Equazioni goniometriche lineare in seno e coseno
Le equazioni goniometriche del tipo:
asin x + bcos x + c = 0
dove a, b, c sono numeri reali con a ≠ 0 e b ≠ 0 sono dette equazioni goniometriche lineari. Vediamo come si risolvono questo tipo di equazione con alcuni esempi:
Esempio 1.
Consideriamo l'equazione:
Primo metodo: utilizzo delle formule parametriche.
Utilizzando le relazioni:
(ricordando che t = tan x/2) l'equazione iniziale diventa:
e risolvendo rispetto a t si ha:
e ritornando alla variabile x si ottengono le due equazioni elementari:
le cui soluzioni sono:
Secondo metodo: angolo aggiunto.
Questo metodo permette di trasformare l'espressione asinx+bcosx nella forma elementare rsin(x+α). Per risolvere l'equazione asinx+bcosx+c=0 si divide primo e secondo membro per √(a2+b2) ottenendo l'equazione
e dato che
poniamo
e utilizzando la formula di addizione l'equazione diventa:
cioè un'equazione elementare che si risolve facilmente.
Nel nostro caso a = 1 e b = -1 quindi
Dividendo entrambi i membri per √2 otteniamo
Si ha quindi
L'equazione iniziale è quindi equivalente all'equazione elementare
che ha soluzioni
Terzo metodo: grafico.
Questo metodo permette di trasformare un'equazione lineare in seno e coseno in un problema di geometria analitica mediante i seguenti passi:
Si associa all'equazione lineare la relazione fondamentale sin2x+cos2=1 in modo da ottenere il sistema:
Poi ponendo cosx = X e sinx = Y si ottiene il sistema algebrico:
Questo sistema può essere risolto graficamente determinando i punti di intersezione tra la retta Y=X-1 e la circonferenza goniometrica:
Le soluzioni del sistema sono quindi:
X=0, Y=-1 e X=1, Y=0
Che corrispondono agli angoli di 0 e 3/4 Π per cui le soluzioni sono:
