Equazioni goniometriche riconducibili a elementari
Le equazioni goniometriche composte del tipo:
sin f(x) = m; cos f(x) = m; tan f(x) = m
dove f(x) è un'espressione contenente l'incognita x si possono trasformare, mediante una semplice sostituzione, in un'equazione goniometrica elementare. Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1.
Consideriamo l'equazione:
Se sostituiamo l'argomento (x-Π/3) con la variabile ausiliare t otteniamo l'equazione goniometrica elementare:
che si risolve tracciando la circonferenza goniometrica, la retta y = 1/2 e le intersezioni tra la circonferenza e la retta. Gli archi associati a questi due punti sulla circonferenza sono:
e quindi le soluzioni dell'equazione elementare sono:
e ritornando alla variabile x si ha:
Esempio 2.
Consideriamo l'equazione:
Se sostituiamo l'argomento 3x con la variabile ausiliare t otteniamo l'equazione goniometrica elementare:
Osservando l'equazione goniometrica elementare ci si rende conto che il seno di un angolo è uguale a √2/2 quando l'angolo è uguale a:
e ritornando alla variabile x si ha:
Anche le equazioni goniometriche di secondo grado del tipo:
asin2 x + bsin x = 0
possono essere ricondotte, mediante raccoglimento a equazioni goniometriche elementari. Ad esempio consideriamo l'equazione:
Raccogliendo a fattor comune sin x si ottiene:
sin x (1 - 2sinx) = 0
e per la legge dell'annullamento del prodotto si ottengono le due equazione goniometriche elementari:
sin x = 0; 1 - 2sinx = 0
La prima equazione ha per soluzione x = kΠ mentre la seconda ha per soluzione:
