Cosa devi sapere sulle equazioni goniometriche

Equazioni goniometriche di secondo grado

Alcune equazioni goniometriche di secondo grado in seno, coseno, tangenti possono essere ricondotte a equazioni elementari mediante una sostituzione. Vediamo alcuni esempi:

• Esempio 1. Consideriamo l'equazione:

  Ponendo sin x = t si ottiene un'equazione di secondo grado in t:

  t² + t - 2 = 0

  E risolvendo rispetto a t si ottiene:

  

  Pertanto, l'equazione iniziale è equivalente alle due equazioni elementari:

  sin x = -2 ∨ sin x = 1

  La prima equazione è impossibile, mentre la seconda ha per soluzione:

  
• Esempio 2. Consideriamo l'equazione:

  Ricordando che cos² x = 1 - sin² si ha:

  

  Ponendo sin x = t si ottiene un'equazione di secondo grado in t:

  2t² + t - 1 = 0

  E risolvendo rispetto a t si ottiene:

  

  Pertanto, l'equazione iniziale è equivalente alle due equazioni elementari:

  sin x = -1 ∨ sin x = 1/2

  E le soluzioni sono:

  
• Esempio 3. Consideriamo l'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno:

  Dividendo primo e secondo membro per cos² x si ottiene un'equazione di secondo grado in tangente. Questa operazione è lecita solo se supponiamo che cos² x sia diverso da zero e cioè che x sia diverso da Π/2+kΠ.

  

  Ponendo tan x = t si ottiene un'equazione di secondo grado in t:

  

  E risolvendo rispetto a t si ottiene:

  

  Pertanto, l'equazione iniziale è equivalente alle due equazioni elementari:

  tan x = -1 ∨ tan x = √3

  E le soluzioni sono:

  

• Esempio 4. Consideriamo l'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno con un termine noto diverso da zero:

  

  Per eliminare il termine noto e ricondurci all'esempio precedente possiamo operare il seguente stratagemma:

  -1 = -1 ⋅ 1 = -1 ⋅ (sin² x + cos² x)

  Per cui l'equazione data diventa:

  

  Applicando lo stesso procedimento dell'esempio precedente otteniamo un'equazione di secondo grado in tangente supponendo sempre che che cos² x sia diverso da zero e cioè che x sia diverso da Π/2+kΠ.

  

  Ponendo tan x = t si ottiene un'equazione di secondo grado in t e risolvendola si ha:

  

  Pertanto, l'equazione iniziale è equivalente alle due equazioni elementari:

  tan x = -1 ∨ tan x = 1/2

  E le soluzioni sono: