Grafici di disequazioni in due incognite

Ogni disequazione lineare in due incognite può essere ricondotta alla forma:

ax + by + c > 0 oppure ax + by + c < 0

con a e b non entrambi nulli.

Le soluzioni di una disequazione in due incognite sono tutte le coppie ordinate di numeri reali che la verificano. Ad esempio, data la disequazione x + 3y < 2 la coppia ordinata (2, -1) è soluzione perchè 2 - 3 < 2, mentre la coppia ordinata (-1, 2) non è soluzione perchè -1 + 6 non è minore di 2. Poichè ad ogni coppia ordinata di numeri reali è possibile associare un dato punto del piano cartesiano, possiamo studiare queste disequazioni rappresentando l'insieme delle loro soluzioni nel piano cartesiano.

Il grafico di un'equazione lineare in due incognite ax + by + c = 0 espressa in forma esplicita y = mx + q è una retta. Il grafico di una disequazione lineare in due incognite del tipo:

y > mx + q     o     y < mx + q

è invece un semipiano privato dell'origine, cioè della retta che ne costituisce la "frontiera". Si parla in questo caso di semipiano aperto. Ad esempio, i graici delle disequazioni

y > x + 1 e y < x + 1

sono i due semipiani aperti in figura:

E il grafico di una disequazione del tipo:

y ≥ mx + q     o     y ≤ mx + q

è un semipiano che comprende la sua origine. Si parla in questo caso di semipiano chiuso. Ad esempio, i graici delle disequazioni:

y ≥ x + 1     e     y ≤ x + 1

sono i due semipiani chiusi in figura:

Per tracciare il grafico di una disequazione lineare in due incognite, cioè per determinare il semipiano delle soluzioni, si può utilizzare questo semplice procedimento:

• Si traccia il grafico dell'equazione ottenuta sostituendo al segno di disuguaglianza il segno di uguale. Trattandosi di un'equazione lineare in due incognite, tale grafico sarà una retta r.

• La retta r individuerà due semipiani: per determinare quello che interessa si sceglie un punto a piacere in uno dei semipiani e si controlla se le sue coordinate verificano la disequazione iniziale (o una ad essa equivalente). Se la disequazione è verificata questo è il semipiano cercato, altrimenti è il semipiano opposto.

• Il semipiano conterrà o meno la sua origine, cioè la retta r, a seconda che la disuguaglianza sia in senso largo (≥ oppure ≤) o in senso stretto (> oppure <).

Esempio 1 Tracciamo il grafico della disequazione

x - 2y - 2 > 0

Scriviamo la disequazione nella forma equivalente

tracciamo il grafico dell'equazione e prendiamo un punto a piacere non appartenente ad r, ad esempio il punto P = (1, 1).

Le coordinate di P non verificano la disequazione iniziale, infatti 1 - 2⋅1 - 2 = -3. Quindi il semipiano cercato, cioè il grafico della disequazione, è quello in cui non si trova P ed evidenziato in figura. Poichè la disuguaglianza è in senso stretto, il semipiano è aperto, cioè non contiene la retta r.

Esempio 2 Tracciamo il grafico della disequazione

y - x + 2 ≥ 0

Scriviamo la disequazione nella forma equivalente y ≥ x - 2, tracciamo il grafico dell'equazione y = x - 2 e consideriamo ad esempio, il punto P = (1, 1): le sue coordinate soddisfano la disequazione, quindi il semipiano cercato è quello in cui si trova P; inoltre il semipiano è chiuso perchè la disuguaglianza è in senso largo.

Esempio 3 Tracciamo il grafico della disequazione

x > -1

In questa disequazione non compare la y. Si può pensare comunque che sia una disequazione in due incognite con il coefficiente di y uguale a zero 0⋅y + x > -1. Si intuisce quali punti del piano rappresentano soluzioni della disequazione: sono quelli che hanno l'ascissa maggiore di -1 e un'ordinata qualsiasi. Il semipiano individuato è quindi quello a destra della retta verticale che passa per il punto (-1, 0). Inoltre, è chiaro che il semipiano è aperto.

Esempio 4 Tracciamo il grafico della disequazione

y ≤ 2

I punti soluzione sono quelli che hanno ordinata minore o uguale a 2 e ascissa qualsiasi. Il semipiano individuato è evidentemente chiuso). Osserva che la disequazione è della forma y ≤ mx + q con m=0 e q=2.

Una volta capito che l'insieme delle soluzioni di una disequazione lineare in due incognite è rappresentato da un semipiano è anche facile rappresentare l'insieme delle soluzioni simultanee di due o più disequazioni lineari cioè le soluzioni di un sistema: basterà considerare l'intersezione di due o più semipiani. Tale intersezione sarà, in generale, una regione del piano.

Vediamo alcuni esempi:

Esempio 5 Tracciamo il grafico del sistema di disequazioni

Poniamo il sistema nella forma equivalente

Tracciamo i grafici delle equazioni che si ottengono mettendo il segno di uguale al posto del segno di disuguaglianza: sono le rette r ed s:

Individuiamo poi con una piccola freccia, come vedi in figura, i semipiani delle soluzioni di ciascuna disequazione. Ora è facile capire che l'intersezione dei due semipiani è la regione evidenziata. Poichè le disuguaglianze sono entrambe in senso largo tale regione è chiusa cioè contiene la sua frontiera costituita da due semirette che hanno la comune origine nel punto (1, -1) inoltre, la regione è illimitata.

E' sempre consigliabile fare un controllo: si sceglie un punto interno alla regione o sulla sua frontiera, ad esempio il punto A = (1, 1), e si verifica se le sue coordinate soddisfano entrambe le disequazioni. Si sceglie poi un punto del piano che non appartiene alla regione, ad esempio il punto B = ( 1, 0), e si verifica che le sue coordinate non soddisfano almeno una delle due disequazioni.

Esempio 6 Tracciamo il grafico del sistema di disequazioni

Ecco i due semipani aperti che rappresentano le soluzioni di ciascuna disequazione.

Poichè la loro intersezione è vuota il sistema non ammette soluzioni (è impossibile).

Esempio 7 Tracciamo il grafico del sistema di disequazioni

Ecco i tre semipani chiusi che rappresentano le soluzioni di ciascuna disequazione.

Come si vede dalla figura il sistema individua una regione triangolare chiusa e i vertici della regione sono

A = (2, 2), B = (6, 0), C = (2, -4)

Esempio 8 Tracciamo il grafico del sistema di disequazioni

Ecco i quattro semipani chiusi che rappresentano le soluzioni di ciascuna doppia disequazione.

Come si vede dalla figura il sistema individua una regione quadrata chiusa e i vertici della regione sono

A = (-3, 1), B = (1, 1), C = (1, -3), D = (-3, -3)

Esempio 9 Tracciamo il grafico del sistema di disequazioni

Per definizione di valore assoluto si ha:

Cioè

Ecco il grafico che rappresenta la regione comune dei quattro semipani chiusi.

Come si vede dalla figura il sistema individua una regione rettangolare chiusa e i vertici della regione sono

A = (-2, 1), B = (4, 1), C = (4, -1), D = (-2, -1)

Esempio 10 Tracciamo il grafico del sistema di disequazioni

Per definizione di valore assoluto si ha:

Cioè

Ecco il grafico che rappresenta la regione comune dei quattro semipani chiusi.

Come si vede dalla figura il sistema individua due regioni rettangolari