Disequazioni con modulo
Per risolvere le disequazioni con modulo si procede in modo simile alle equazioni con modulo considerando le seguenti proprietà del valore assoluto di un numero.
|a| ≤ b → -b ≤ a ≤ b (con a ∈ R, b ∈ R0+)
|a| ≥ b → a ≤ -b o a ≥ b (con a ∈ R, b ∈ R0+)
|a| ≤ |b| → a2 ≤ b2 (con a, b ∈ R)
|a| ≥ |b| → a2 ≥ b2 (con a, b ∈ R)
Vediamo come si risolvono alcune tipologie di disequazioni con modulo.
Disequazioni del tipo |A(x)| > k con k > 0:
Per definizione di valore assoluto la disequazione equivale all'unione dei due sistemi:
che ammettono per soluzione:
A(x) < -k ∨ A(x) > k
Vediamo un esempio:
Risolviamo la disequazione |2x + 1| > 5
la disequazione data equivale a:2x + 1 < -5 ∨ 2x + 1 > 5
Pertanto, le soluzioni della disequazione data sono:
x < -3 ∨ x > 2
Risolviamo la disequazione |6 -x2| > 10
la disequazione data equivale a:6 -x2 < -10 ∨ 6 -x2 > 10
Svolgendo la prima disequazione si ha:
x2 > 16 ↔ x < -4 ∨ x > 4
Svolgendo la seconda disequazione si ha:
x2 < -4
che è impossibile. Pertanto, le soluzioni della disequazione data sono:
x < -4 ∨ x > 4
Disequazioni del tipo |A(x)| < k con k > 0:
Per definizione di valore assoluto la disequazione equivale all'unione dei due sistemi:
che ammettono per soluzione:
0 ≤ A(x) < -k ∨ -k < A(x) < 0
cioè
-k < A(x) < k
Vediamo un esempio:
Risolviamo la disequazione |5x + 4| < 1
la disequazione data equivale a:-1 < 5x + 4 < 1
-1 < 5x + 4 è soddisfatta per x > -1
5x + 4 < 1 è soddisfatta per x < -3/5
Pertanto, le soluzioni della disequazione data sono:-1 < x < -3/5
Risolviamo la disequazione
la disequazione data equivale a:
Svolgendo la prima disequazione si ha:
Svolgendo la seconda disequazione si ha:
Pertanto, le soluzioni della disequazione data sono:
x < 4/3 ∨ x > 5/3
Disequazioni del tipo |A(x)| < B(x):
Vediamo un esempio:
Risolviamo la disequazione |3x - 4| < 2x + 1
la disequazione data equivale all'unione dei due sistemi:
Il primo sistema è soddisfatto per x < 5, il secondo è soddisfatto per x > 3/5.
Pertanto le soluzioni della disequazione data sono:3/5 < x < 5
Disequazioni del tipo |A(x)| ≥ |B(x)|
Essendo i due membri della disequazione non negativi, elevando entrambi al quadrato si ottiene una disequazione equivalente senza i valori assoluti; A2(x) ≥ B2(x). Vediamo un esempio:
Risolviamo la disequazione |3x + 3| ≥ |x + 4|
Eleviamo i due membri al quadrato:|3x + 3|2 ≥ |x + 4|2
Per la proprietà dei valori assoluti si ha:
(3x + 3)2 ≥ (x + 4)2
Sviluppando i quadrati si ottiene:
8x2 + 10x -7 ≥ 0
Risolvendo la disequazione di secondo grado si ottiene:
1/2 ≥ x ≥ -7/4
Disequazioni del tipo |A(x)| + |B(x)| < C(x)
Vediamo un esempio:
Risolviamo la disequazione |5x - 2| - |x-2| < 4x - 1
Studiamo il segno delle espressioni all'interno dei valori assoluti:
Mettendo insieme i due valori assoluti ci sono quindi tre intervalli:
x < 2/5; 2/5 ≤ x < 2; x ≥ 2
Nell'intervallo x < 2/5 entrambe le espressioni sono negative.
Nell'intervallo 2/5 ≤ x < 2 l'espressione 5x - 2 è positiva mentre x - 2 è negativa.
Nell'intervallo x ≥ 2 entrambe le espressioni sono positive.
Perciò la disequazione data equivale all'unione dei tre sistemi:
Il primo sistema è soddisfatto per x > 1/8, il secondo è soddisfatto per x < 3/2 mentre il terzo è impossibile.
Pertanto le soluzioni della disequazione data sono:1/8 < x < 3/2
