Grafico di una funzione con modulo (seconda parte)
Dagli esempi che abbiamo visto possiamo facilmente intuire come si presenterà il grafico di una funzione lineare con valore assoluto del tipo:
Si agisce sul grafico di y = |x|, prima con una traslazione orizzontale di h unità (verso sinistra se h > 0, verso destra se h < 0) poi con una dilatazione verticale di fattore a se il valore assoluto di a è maggiore di 1 oppure una compressione verticale se il valore assoluto di a è compreso tra zero e uno. Poi un ribaltamento rispetto all'asse delle x se a è negativo e infine una traslazione verticale di k unità (verso l'alto se k > 0, verso il basso se k < 0).
Ad esempio tracciamo il grafico della funzione:
Dobbiamo agire sul grafico di y = |x| con una traslazione orizzontale di una unità a destra poi una dilatazione verticale di fattore 3 e infine con una traslazione verticale di 2 unità verso l'alto. Ecco la successione grafica dei vari passaggi:
Verifichiamo la nostra intuizione tracciando le due semirette che corrispondono alla funzione presa in esame. Per definizione si ha:
E il suo grafico è dato dall'unione delle due semirette:
Ecco il grafico:
Ora, abbiamo tutte le informazione per tracciare il grafico di funzioni lineari, con valore assoluto, più complesse.
- Esempio 1: Tracciamo il grafico della funzione:
Per definizione del valore assoluto si ha:
E il suo grafico è dato dall'unione delle due semirette:
Ecco il grafico:
- Esempio 2: Tracciamo il grafico della funzione:
Per definizione dei valori assoluti si ha:
La funzione è quindi equivalente al sistema:
E il suo grafico è dato dall'unione di due semirette e un segmento:
Ecco il grafico:
- Esempio 3: Tracciamo il grafico della funzione:
y = ||x| - 2|
Possiamo procedere in due modi distinti:
a) Cerchiamo di capire come agisce questa funzione: prende x, gli fa il modulo, gli toglie 2 e poi gli rifà il modulo. In altre parole le operazioni che bisogna eseguire in successione sono tracciare il grafico di y = |x| traslarlo verticalmente in basso di 2 unità e poi ribaltare rispetto alla retta y = 0 tutti i punti che hanno ordinata negativa. Come si vede sono operazioni che sappiamo eseguire.
Vediamo questa successione:
- Primo passo:
Tracciamo il grafico di y = |x|
- Secondo passo:
Trasliamo il grafico di y = |x| verso il basso di 2 unità, otteniamo cosí il grafico di y = |x| - 2
- Terzo passo:
Simmetrizziamo rispetto alla retta y = 0 tutti i punti che hanno ordinata negativa otteniamo cosí il grafico di y = ||x| - 2|
b) Per definizione del modulo più interno si ha:
Per definizione del modululo esterno tenendo conto del modulo interno si ha:
Cioè
Cioè:
E quindi il grafico che abbiamo già visto è composto da due semirette e due segmenti.
- Esempio 4: Tracciamo il grafico della funzione:
Per definizione di modulo la funzione è quindi equivalente all'unione dei due sistemi:
Ecco il grafico:
- Esempio 5: Tracciamo il grafico della funzione:
Scomponendo il trinomio di secondo grado si ha:
Per definizione di modulo la funzione è quindi equivalente all'unione dei due sistemi:
Ecco il grafico:
