Equazioni lineari con modulo
Ricordiamo la definizione di valore assoluto di un numero reale:
Dato un numero reale x si chiama valore assoluto o modulo di x e indicato con il simbolo |x| lo stesso numero x se esso è maggiore o uguale a zero o al suo opposto, cioè -x, se è minore di zero. In sintesi:
Ad esempio:
|+4| = 4; |-4| = -(-4) = 4; |0| = 0
Pertanto, il valore assoluto di un numero reale è sempre non negativo.
Analogamente possiamo definire il valore assoluto di un'espressione algebrica.
Ad esempio, il valore assoluto di 2x - 1 è definito:
Cioè
Possiamo infine rappresentare questo con un grafico.
Tenendo conto della definizione di valore assoluto, vediamo come si risolve un'equazione in cui l'incognita o espressioni contenenti l'incognita compaiono all'interno del segno di valore assoluto.
Equazioni del tipo |A(x)| = k
Sono quelle equazioni in cui l'incognita è presente solo all'interno del modulo e k è un numero reale. Poichè k può essere negativo, nullo o positivo si possono presentare tre casi; vediamoli con tre esempi:
Risolviamo l'equazione |2x - 3| = -7
Essendo k < 0, l'equazione è impossibile perchè il valore assoluto di un numero o di un'espressione algebrica non può essere un numero negativo.Risolviamo l'equazione |3x - 6| = 0
Essendo k = 0, l'equazione si riduce a3x - 6 = 0
che ha per soluzione x = 2.
Risolviamo l'equazione |3x + 4| = 1
Per definizione di valore assoluto si ha:
che equivale a:
Cioè, all'unione dei due sistemi:
Il primo sistema è soddisfatto per x = -1, mentre il secondo è soddisfatto per x = -5/3. Pertanto, l'equazione data ha per soluzione:
x = -1 ∨ x = -5/3
In generale un'equazione con valore assoluto del tipo:
|A(x)| = k con k ∈ R
è impossibile se k < 0 mentre, si risolve ponendo A(x) = ± k se k ≥ 0.
Equazioni del tipo |A(x)| = B(x)
Sono quelle equazioni in cui l'incognita si trova anche fuori dal modulo. Vediamo due esempi:
Risolviamo l'equazione |3x - 5| = 2x + 1
Per definizione di valore assoluto si ha:
Che equivale all'unione dei due sistemi:
Il primo sistema è verificato per x = 6, il secondo per x = 4/5 e quindi l'equazione data è verificata per:
x = 6 ∨ x = 4/5
Risolviamo l'equazione |6x + 5| = 14x - 1
L'equazione data equivale all'unione dei due sistemi:
e risolvendo si ha:
Nel primo sistema la soluzione x = 3/4 è accettabile perchè è maggiore di -5/6, mentre nel secondo sistema x = -1/5 non è accettabile perchè è maggiore di -5/6 e quindi l'equazione data è verificata per x = 3/4.
In generale un'equazione con valore assoluto del tipo:
|A(x)| = B(x)
Si risolve mediante l'unione dei due sistemi:
Equazioni del tipo |A(x)| = |B(x)|
Sono quelle equazioni in cui l'incognita si trova in due moduli. Vediamo un esempio:
Risolviamo l'equazione |x - 4| = |3 + 2x|
L'equazione data equivale all'unione delle due equazioni:
x - 4 = 3 + 2x ∪ x - 4 = -(3 + 2x)
La prima equazione ha per soluzione x = - 7 mentre la seconda equazione ha per soluzione x = 1/3 e quindi l'equazione data è verificata per:
x = - 7 ∨ x = 1/3
In generale un'equazione con valore assoluto del tipo:
|A(x)| = |B(x)|
Si risolve mediante l'unione delle due equazioni:
A(x) = B(x) ∪ A(x) = -B(x)
Equazioni del tipo |A(x)|+|B(x)|=k
Sono quelle equazioni in cui l'incognita si trova in più moduli. Vediamo un esempio:
Risolviamo l'equazione |2x + 1| + |-x+1|= x + 4
Studiamo il segno delle espressioni all'interno dei valori assoluti:
Mettendo insieme i due valori assoluti ci sono quindi tre intervalli:
x < -1/2; -1/2 ≤ x ≤ 1; x > 1
Nell'intervallo x < -1/2 l'espressione 2x+1 è negativa mentre -x+1 è positiva.
Nell'intervallo -1/2 ≤ x ≤ 1 entrambe le espressioni sono positive.
Nell'intervallo x > 1 l'espressione 2x+1 è positiva mentre -x+1 è negativa.
Perciò l'equazione data equivale all'unione di tre sistemi:
Il primo sistema è verificato per x=-1, il secondo è impossibile, il terzo è verificato per x = 2. Quindi l'equazione data è verificata per
x = -1 ∨ x = 2
