Asintoti obliqui
Una retta di equazione y=mx+q è detta asintoto obliquo per la funzione f(x) per x che tende a più o meno infinito se si verifica:
Se questa condizione si verifica solo per x che tende a più infinito o per x che tende a meno infinito si dice rispettivamente che la retta y=mx+q è un asintoto obliquo destro o un asintoto obliquo sinistro.
La definizione di asintoto obliquo equivale alla condizione che la distanza tra il punto P e il punto Q (il primo preso sul grafico di f(x) e il secondo sulla retta y=mx+q avente la stessa ascissa di P) tenda a zero quando x tende a più infinito o a meno infinito.
Per calcolare l'eventuale asintoto obliquo di una funzione è necessario che si verificano tre condizioni:
Prima condizione: esistenza del limite infinito.
Se questa condizione non risulta verificata, abbiamo già la certezza che la funzione non ha un asintoto obliquo, se invece esiste si passa alla condizione successiva.
Seconda condizione: esistenza del coefficiente angolarare m.
Se questo limite non esiste oppure è infinito o nullo la funzione non ha un asintoto obliquo, se invece esiste ed è un numero reale diverso da zero si passa alla successiva condizione.
Terza condizione: esistenza del termine noto q.
Se questo limite non esiste oppure è infinito, la funzione non ha un asintoto obliquo, se invece esiste, finito allora la funzione ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q.
Il grafico di una funzione può avere al più solo due asintoti obliqui diversi uno a +∞ e uno a -∞ e la stessa retta può essere contemporaneamente asintoto obliquo destro e sinistro inoltre, un asintoto obliquo può essere intersecato, (anche più volte) dal grafico della funzione e per determinare le eventuali intersezioni bisogna risolvere il sistema tra l'equazione della funzione e l'equazione dell'asintoto obliquo. Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: Trovare gli eventuali asintoti obliqui della funzione
E' immediato costatare che il limite della funzione per x che tende a infinito è infinito e quindi proviamo a verificare l'esistenza del coefficiente angolare m:
Essendo m=1 un numero reale diverso da zero possiamo provare a verificare l'esistenza del termine noto q:
Essendo q=0 un numero finito possiamo concludere che la retta y=x è un asintoto obliquo destro della funzione. Ora, se determiniamo m e q mediante il limite della funzione per x che tende a meno infinito otteniamo ancora m=1 e q=0 per cui la retta y=x è anche un asintoto obliquo sinistro come si vede dal grafico.
Esempio 2: Trovare gli eventuali asintoti obliqui della funzione
E' immediato vedere che il limite della funzione per x che tende a più infinito è infinito mentre il limite della funzione per x che tende a meno infinito si presenta nella forma indeterminata ∞-∞ e razionalizzando si ottiene:
Essendo quest'ultimo limite finito la funzione ammette un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=0. Vediamo se la funzione ammette un asintoto obliquo destro verificando l'esistenza del coefficiente angolare m:
Essendo m=2 un numero reale diverso da zero possiamo provare a verificare l'esistenza del termine noto q:
Essendo q=0 un numero finito possiamo concludere che la retta y=2x è un asintoto obliquo destro della funzione come si vede dal grafico.
La presenza dell'asintoto orizzontale esclude l'asintoto obliquo. Esistono però funzioni, come quella dell'esempio 2, che ammettono l'asintoto orizzontale a -∞ e l'asintoto obliquo a +∞ (e viceversa).
