Asintoti verticali
Con l'aiuto dei limiti è possibile studiare il comportamento delle funzioni ai confini del loro campo di esistenza, cioè è possibile sapere cosa fanno le funzioni là dove finisce il loro dominio. In particolare, con i limiti possiamo trovare gli eventuali asintoti di una funzione. Quando il grafico di una funzione tende ad avvicinarsi indefinitamente a una retta senza mai toccarla si dice che la retta è un asintoto della curva. Il grafico di una funzione può avvicinarsi sempre di più a tre tipi di rette (verticale, orizzontale, obliqua) per cui si hanno tre tipi di asintoti: asintoti verticali, asintoti orizzontali, asintoti obliqui.
Una retta perpendicolare all'asse delle x e di equazione x=x0 è detta asintoto verticale per la funzione f(x) se il limite della funzione tende a un valore infinito per x che tende al numero reale finito x0 da destra o da sinistra. Si possono presentare quattro situazioni:
Il limite della funzione per x che tende a x0 da destra è uguale a più infinito:
Il limite della funzione per x che tende a x0 da destra è uguale a meno infinito:
Il limite della funzione per x che tende a x0 da sinistra è uguale a più infinito:
Il limite della funzione per x che tende a x0 da sinistra è uguale a meno infinito:
La ricerca dell'asintoto verticale si effettua solo se il dominio di una funzione presenta punti di discontinuità o punti agli estremi del dominio se sono finiti e non appartengono al dominio stesso. In tal caso bisogna calcolare i limiti della funzione per x che tende agli estremi finiti del dominio e vedere se sono infiniti. Da ciò si deduce che tutte le funzioni razionali intere, essendo definite in tutto l'insieme dei numeri reali, non hanno asintoti verticali. Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: Trovare gli eventuali asintoti della funzione y = ln(x - 1).
La funzione è definita per x>1, quindi il suo dominio è:D = (1, +∞)
Per ricercare un eventuale asintoto verticale dobbiamo calcolare solo il limite della funzione per x che tende a 1 da destra perchè a sinistra di 1 la funzione non esiste.
La retta di equazione x=1 è quindi un asintodo destro di y = ln(x - 1) come si può vedere dal grafico della funzione.
Esempio 2: Trovare gli eventuali asintoti della funzione
La funzione è definita per x≠±2, quindi il suo dominio è:D = (-∞, -2) ∪ (-2, +2) ∪ (+2, +∞)
Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per x che tende a destra e a sinistra di -2 e per x che tende a destra e a sinistra di +2.
Quindi le rette di equazioni x=-2 e x=+2 sono gli asintoti della funzione
come si può vedere anche dal grafico della funzione.
Esempio 3: Trovare gli eventuali asintoti della funzione
La funzione è definita per x≠0, quindi il suo dominio è:D = (-∞, 0) ∪ (0, +∞)
Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per x che tende a destra e a sinistra di 0. Ma, sappiamo che il limite di questa funzione per x che tende a zero è un limite notevole e il suo valore è uguale a 1/2 e quindi la funzione pur avendo un punto di discontinuità in x=0 e quindi non è definita in x=0 non ha un asintoto verticale come si può vedere dal grafico della funzione.
