Equazioni trinomie
Ogni equazione riconducibile alla forma:
ax2n + bxn + c = 0 (a ≠ 0)
è detta equazione trinomia dove n è un numero intero positivo e a, b e c sono numeri reali. Il coefficiente del termine di grado più alto è dunque un numero pari e per n=2 si ottiene un'equazione biquadratica. Per risolvere un'equazione trinomia si procede come nel caso delle equazioni biquadratiche. Infatti, se poniamo
t = xn
(da cui segue t2 = (xn)2 = x2n) otteniamo un'equazione di secondo grado in t
at2 + bt + c = 0
e sostituendo nell'equazione binomia xn = t i valori reali trovati per t otteniamo le soluzione dell'equazione iniziale. Se n è pari si devono accettare solo le soluzioni non negative per t.
Vediamo due esempi:
Esempio 1: Risolvere l'equazione trinomia
x6 + 9x3 + 8 = 0
Ponendo
t = x3
l'equazione iniziale diventa
t2 + 9t + 8 = 0
che ammette le soluzioni
t = -1 e t = -8
Sostituendo le soluzioni per t nell'equazione x3 = t si trovano le due equazioni
x3 = -1 e x3 = -8
che ci forniscono le soluzioni dell'equazione iniziale
x = -1 e x = -2
Esempio 2: Risolvere l'equazione trinomia
x8 + 2x4 - 3 = 0
Ponendo
t = x4
(quindi t è necessariamente non negativo) si ottiene l'equazione di secondo grado in t
t2 + 2t - 3 = 0
che ammette le soluzioni
t = -3 e t = 1
Sostituendo la soluzione positiva per t nell'equazione x4 = t si trova l'equazione
x4 = 1
che ci fornisce le soluzioni dell'equazione iniziale
x = ±1
