Equazioni biquadrate
Ogni equazione riconducibile alla forma:
ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
è detta equazione biquadratica dove n è un numero intero positivo e a, b e c sono numeri reali. Le equazioni biquadratiche sono equazioni di quarto grado incompleta, mancando i termini di terzo e primo grado e costituiscono quindi una sottoclasse particolare delle equazioni di quarto grado.
Possiamo ricondurre la loro soluzione alla soluzione di un'equazione di secondo grado con un artificio. Se infatti poniamo
t = x2
(da cui segue t2 = x4) l'equazione iniziale si trasforma nell'equazione di secondo grado in t
at2 + bt + c = 0
Che possiamo risolvere con la ben nota formula. Bisogna tener presente che le uniche soluzioni accettabili per t sono quelle non negative perchè t è, per nostra scelta, un numero quadrato (quindi sempre non negativo). Una volta trovate le soluzioni reali non negative per t (sempre che esistano) è immediato risolvere l'equazione:
x2 = t
che ci fornisce, per ogni soluzione non negativa t, le soluzioni reali:
x = ±√t
dell'equazione iniziale. Vediamo tre esempi:
Esempio 1: Risolvere l'equazione biquadratica
x4 - 3x2 + 2 = 0
Ponendo
t = x2
l'equazione iniziale diventa
t2 - 3t + 2 = 0
L'equazione di secondo grado in t ha discriminante positivo e ammette le due soluzioni
t = 1 e t = 2
entrambe positive. Sostituendo nella posizione x2 = t i valori trovati per t, si ottengono le due equazioni in x
x2 = 1 e x2 = 2
Pertanto avremo per l'equazione iniziale le quattro soluzioni (a due a due opposte)
x = ±√1 = ±1
x = ±√2
L'equazione iniziale di quarto grado ha dunque quattro soluzioni; ciò è in accordo con quanto già sappiamo: un polinomio di quarto grado non può avere più zeri del suo grado, quindi non più di quattro.
Esempio 2: Risolvere l'equazione biquadratica
x4 - 7x2 - 18 = 0
Ponendo
t = x2
l'equazione iniziale diventa
t2 - 7t - 18 = 0
che ammette le due soluzioni
t = 9 e t = -2
La soluzione per t che ci interessa è quella positiva. Pertanto si ha
x2 = 9
che ammette le due soluzioni opposte
x = ±√9 = ±3
Esempio 3: Risolvere l'equazione biquadratica
x4 + 4x2 +3 = 0
Ponendo
t = x2
l'equazione iniziale diventa
t2 + 4t + 3 = 0
che ammette le due soluzioni
t = -1 e t = -3
entrambe negative. Ne segue che l'equazione iniziale non ha soluzioni reali.
