Equazioni binomie
Per le equazioni algebriche di terzo e quarto grado esistono delle formule risolutive generali in funzione dei coefficienti dell'equazione. Si tratta di formule piuttosto complicate per questo non verranno trattate. L'importante è sapere che esistono e che ogni equazione di terzo o quarto grado è risolubile con una formula generale. Invece per le equazioni algebriche di grado superiore al quarto non esiste una formula generale. Esistono, però, particolari classi di equazioni per cui è possibile determinare le soluzioni ed è proprio di queste equazioni che ci occuperemo. L'idea è quella di ricondurre la risoluzione di un'equazione di grado superiore al secondo alla risoluzione di equazioni di primo e secondo grado mediante opportuni artifici.
Iniziamo a studiare le equazioni di grado superiore al secondo del tipo:axn + b = 0 (a ≠ 0)
dette equazioni binomie dove n è un numero intero positivo e a e b sono numeri reali. Le soluzioni di un'equazione binomia non sono altro che le radici algebriche reali n_esime di -b/a per cui bisogna distinguere se n è pari o dispari:
Vediamo tre esempi:
Esempio 1 Risolvere l'equazione binomia:
81x4 - 1 = 0
Scriviamo l'equazione nella forma:
x4 = 1/81
e ricaviamo la x estraendo la radice quarta di 1/81 che ammette le due radici reali:
Esempio 2 Risolvere l'equazione binomia:
x4 + 16 = 0
Scriviamo l'equazione nella forma:
x4 = -16
essendo n pari e -b/a minore di zero l'equazione non ammette radici reali.
Esempio 3 Risolvere l'equazione binomia:
x3 + 27 = 0
Scriviamo l'equazione nella forma:
x3 = -27
e ricaviamo la x estraendo la radice cubica di -27 che ammette l'unica radice reale:
