Equazioni e disequazioni con valori assoluti
Possiamo ora, risolvere semplici equazioni e disequazioni che contengono valori assoluti.
Vediamo alcuni esempi di equazioni con valori assoluti.
Esempio 1: Risolviamo l'equazione |2x| = 4
Questa equazione è equivalente all'unione di due sistemi misti formati da una disequazione e da un'equazione perchè:
se 2x ≥ 0, cioè x ≥ 0, l'equazione diventa, per la definizione di valore assoluto, 2x = 4;
se 2x < 0 cioè x < 0 l'equazione diventa, per la definizione di valore assoluto, -2x = 4.
Il primo sistema ha per soluzione x=2 (accettabile avendo supposto x ≥ 0), il secondo sistema ha per soluzione x=-2 (accettabile avendo supposto x < 0).
In conclusione l'equazione iniziale ammette le due soluzioni x = 2 e x = - 2.
Esempio 2: Risolviamo l'equazione |x-1| = 2x + 3
Se x - 1 ≥ 0, cioè x≥1, l'equazione diventa x - 1 = 2x + 3.
Se x - 1 < 0, cioè x<1, l'equazione diventa -(x-1) = 2x + 3.
L'equazione ha quindi come soluzioni quella dell'unione dei due sistemi:
Il primo sistema ha per soluzione x=-4 (non accettabile avendo supposto x≥1), il secondo sistema ha per soluzione x=-2/3 (accettabile avendo supposto x < 1).
In conclusione l'equazione ammette l'unica soluzione x = -2/3.Esempio 3: Risolviamo l'equazione |3x+1|+x-1 = |x-2|
Si ha 3x + 1 ≥ 0 se x ≥ -1/3 e x - 2 ≥ 0 se x ≥ 2. Riassumiamo la situazione con uno schema grafico
Dallo schema si deduce che dobbiamo distinguere tre casi:
Se x < -1/3 le due espressioni interne ai valori assoluti sono entrambe negative quindi l'equazione diventa:
-(3x + 1) + x - 1 = -(x - 2)
Se -1/3 ≤ x < 2 la prima espressione è positiva o nulla e la seconda negativa quindi l'equazione diventa
3x + 1 + x - 1 = -(x - 2)
Se x ≥ 2 la prima espressione è positiva e la seconda positiva o nulla quindi l'equazione diventa
3x + 1 + x - 1 = x - 2
L'equazione ha quindi come soluzioni quella dell'unione dei tre sistemi:
Il primo sistema ha per soluzione x=-4 accettabile avendo supposto x < -1/3, ll secondo ha per soluzione x=2/5 accettabile avendo supposto -1/3 ≤ x < 2, il terzo ha per soluzione x=-2/3 non accettabile avendo supposto x ≥ 2.
In conclusione l'equazione ammette le due soluzioni x = -4 e x = 2/5.Vediamo alcuni esempi di disequazioni con valori assoluti.
Esempio 4: Risolviamo la disequazione |3-x| < 2
La disequazione equivale a:-2 < 3 - x < 2 ovvero
Risolvendo il sistema si ottiene x<5 e x>1.
Quindi la disequazione è soddisfatta per 1 < x < 5.Esempio 5: Risolviamo la disequazione |4x - 7| < -1
La disequazione non ha soluzioni perchè un valore assoluto è sempre non negativo.Esempio 6: Risolviamo la disequazione |x+3/2| < |x-1|+x+1
Si ha x + 3/2 ≥ 0 se x ≥ -3/2 e x - 1 ≥ 0 se x ≥ 1. Riassumiamo la situazione con uno schema grafico
Dallo schema si deduce che dobbiamo distinguere tre casi:
Se x < -3/2 le due espressioni interne ai valori assoluti sono entrambe negative quindi la disequazione diventa:
-(x + 3/2 ) < -(x - 1) + x + 1
Se -3/2 ≤ x < 1 la prima espressione è positiva o nulla e la seconda negativa quindi la disequazione diventa:
x + 3/2 < -(x - 1) + x + 1
Se x ≥ 1 la prima espressione è positiva e la seconda positiva o nulla quindi la disequazione diventa:
x + 3/2 < x - 1 + x + 1
L'equazione ha quindi come soluzioni quella dell'unione dei tre sistemi:
Il primo sistema ha per soluzione -7/2 < x < -3/2, il secondo ha per soluzione -3/2 ≤ x < 1/2, il terzo ha per soluzione x > 3/2.
In conclusione la disequazione iniziale è soddisfatta per
