Valore assoluto
Si definisce valore assoluto o modulo del numero reale a, e si indica con |a|, il numero stesso se a è positivo o nullo, il suo opposto se a è negativo.
Dalla definizione segue che il valore assoluto è sempre un numero positivo o al più nullo. Ad esempio:
Se a = +4 allora |+4| = 4
Se a = -4 allora |-4| = -(-4) = 4
Se a = 0 allora |0| = 0
Dalla definizione si deduce anche che due numeri opposti hanno lo stesso modulo. Ad esempio:
|+7| = |-7|; |+a| = |-a|; |a - b| = |b - a|
E quindi se due numeri reali hanno lo stesso valore assoluto allora o sono uguali o sono opposti
|a| = |b| implica a = b ∨ a = -b
Per comprendere meglio il significato di valore assoluto di un numero possiamo dare una sua interpretazione geometrica; il valore assoluto di un numero reale a rappresenta la distanza di tale numero dal punto che rappresenta lo zero sulla retta orientata.
In particolare dati due numeri reali a e b la loro distanza sulla retta orientata è data dal valore assoluto della loro differenza:
d(a, b) = |a - b| = |b - a|
Si può facilmente verificare che, in generale, il valore assoluto di una somma non è uguale alla somma dei valori assoluti; ad esempio:
|-3+2| = 1 e |-3| + |+2| = 5
e ciò viene espresso con la scrittura:
|a + b| ≤ |a| + |b|
Invece il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti; ad esempio:
|-3 ⋅ (+2)| = 6 e |-3| ⋅ |+2| = 6
e ciò viene espresso con la scrittura:
|a ⋅ b| = |a| ⋅ |b|
