Sistemi di disequazioni
Un sistema di disequazioni di primo grado in una sola incognita è un insieme di due o più disequazioni che devono essere verificate simultaneamente. Ad esempio il sistema:
ha due disequazioni lineari in una sola incognita e le due disequazioni sono simultaneamente soddisfatte per
e naturalmente il sistema non è verificato per qualsiasi altro valore di x. Per risolvere un sistema di disequazione lineare in una sola incognita bisogna risolvere singolarmente ciascuna disequazione e poi trovare i valori comuni alle soluzioni di ciascuna disequazione cioè, determinare l'intersezione degli insiemi di soluzioni di ciascuna disequazione. Ad esempio, consideriamo il sistema di disequazioni costituito dalle due disequazioni lineari e determiniamo l'intervallo numerico che verifica il sistema.
Risolviamo separatamente le due disequazioni:
Prima disequazione:
2x - 1 < 3 → x < 2
La disequazione è soddisfatta per tutti i valori reali di x minori di 2.
Seconda disequazione:
3x + 2 ≥ 1 → x ≥ −1/3
La disequazione è soddisfatta per tutti i valori reali di x maggiori o uguali a -1/3.
Se indichiamo rispettivamente con S1 e S2 gli insiemi di soluzioni della prima e della seconda disequazione, possiamo facilmente determinare l'insieme delle soluzioni del sistema mediante lo schema grafico:
Il valore x=−1/3 è soluzione di entrambe le disequazioni (quindi del sistema) mentre il valore x=2 è soluzione solo della seconda disequazione (quindi non del sistema). Pertanto l'insieme delle soluzioni S1 ∩ S2 delle soluzioni simultanee è l'intervallo:
Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1: Risolviamo il sistema:
Risolviamo singolarmente le tre disequazioni:
Rappresentiamo le soluzioni con il solito schema grafico:
L'insieme delle soluzioni è quindi:
]-2; 1[ oppure -2 < x < 1
Esempio 2: Risolviamo il sistema:
Risolviamo la prima disequazione e valutiamo il segno del rapporto della seconda disequazione:
Rappresentiamo le soluzioni della seconda disequazione con lo schema grafico:
che è soddisfatta per:
x < -3 ∨ x > 2
Rappresentiamo le soluzioni dell'intero sistema con lo schema grafico:
L'insieme delle soluzioni è quindi:
]-∞; -3[ U ]2; 5[ oppure x < -3 ∨ 2 < x < 5
