Prodotti notevoli
Per alcuni prodotti di polinomi detti prodotti notevoli possiamo utilizzare delle semplici formule per rendere più facile e rapido il calcolo evitando di eseguire tutti i passaggi intermedi.
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.
Ad esempio:
Giustificazione geometrica di questa regola: il quadrato rosso di lato a privato del quadratino di lato b, avente l'area uguale a a2-b2, è equivalente al rettangolo di base (a-b) e altezza (a+b).
Il quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto dei due monomio, più il quadrato del secondo monomio. Ad esempio:
Giustificazione geometrica di questa regola: l'area del quadrato di lato (a+b) è uguale all'area del quadrato di lato a più l'area del quadrato di lato b più il doppio dell'area del rettangolo di dimensioni a e b.
Il quadrato di un trinomio
Il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo monomio, più il quadrato del terzo monomio, più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il doppio prodotto del primo monomio per il terzo, più il doppio prodotto del secondo monomio per il terzo. Ad esempio:
Giustificazione geometrica di questa regola: l'area del quadrato di lato (a+b+c) è uguale all'area del quadrato di lato a, più l'area del quadrato di lato b, più l'area del quadrato di lato c, più il doppio dell'area del rettangolo di dimensioni a e b, più il doppio dell'area del rettangolo di dimensioni a e c, più il doppio dell'area del rettangolo di dimensioni b e c.
Il cubo di un binomio
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio, più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo monomio, più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio, più il cubo del secondo monomio. Ad esempio:
Giustificazione geometrica: un cubo di spigolo (a+b) il cui volume è (a+b)3 lo si può scomporre in:
un cubo di spigolo a (di volume a3);
un cubo di spigolo b (di volume b3);
tre parallelepipedi uguali di dimensioni a, a, b (volume complessivo 3a2b);
tre parallelepipedi uguali di dimensioni b, b, a (volume complessivo 3ab2);
Per le potenze n-esime di un binomio (n ∈ N e maggiore di 3) non ci sono formule semplici da ricordare. Esaminando le prime potenze del binomio (a + b) possiamo però, individuare alcune regolarità molto utili per evitare lunghi e laboriosi calcoli.
La potenza n-esima di (a + b) è un polinomio:
• con n+1 termini;
• omogeneo di grado n;
• completo e ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b;
Se osserviamo i coefficienti notiamo che seguono uno schema noto con il nome triangolo di Tartaglia: le righe dello schema iniziano e finiscono con 1, ogni altro elemento si ottiene sommando i due numeri della riga precedente che sono alla sua sinistra e alla sua destra. Ecco ad esempio, le righe da 0 a 5 del triangolo di Tartaglia.
Con queste informazioni siamo ora i grado di scrivere lo sviluppo di una potenza n-esima di un qualsiasi binomio. Ad esempio, vediamo come si può determinare la potenza
(2x2y − 2)5
Partiamo da (a + b)5; sappiamo che il suo sviluppo è un polinomio con 6 termini, omogeneo di grado 5, le potenze di a decrescono da 5 a 0, le potenze di b crescono da 0 a 5 e i coefficienti dei termini sono quelli della riga 5 del triangolo di Tartaglia (1, 5, 10, 10, 5, 1) e quindi:
(a + b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Poi sostituiamo: a con (2x2y) e (+ b) con (− 2).
