Polinomi
Sappiamo che l'insieme dei monomi non è chiuso rispetto all'addizione ad esempio, l'espressione
2ab + 5x
non è riconducibile ad un unico monomio e quindi, rappresenta un nuovo oggetto algebrico che prende il nome di polinomio.
Pertanto, un polinomio è la somma algebrica di due o più monomi non simili. I monomi che compongono un polinomio sono i termini del polinomio. Ad esempio, è un polinomio:
Attenzione! Ogni monomio può considerarsi come un caso particolare di polinomio, ad esempio il monomio 3ab può essere scritto come la somma di due monomi non simili:
3ab + 0a
dove 0a è il monomio nullo ed è ininfluente. Inoltre, ogni numero reale non nullo, come sappiamo, può considerarsi come un monomio di grado zero, quindi come un polinomio e il numero reale zero può essere considerato come monomio nullo o come polinomio nullo.
Queste osservazioni ci consentono di affermare che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dell'insieme M dei monomi che, a sua volta, è un sottoinsieme dell'insieme P dei polinomi.
Un polinomio è ridotto in forma normale se:
contiene solo monomi scritti in forma normale;
non ci sono monomi simili.
Ad esempio, sommando algebricamente i monomi simili presenti nel polinomio
si ottiene il polinomio in forma normale
Un polinomio ridotto in forma normale con due termini si chiama binomio, con tre termini trinomio, con quattro termini quadrinomio. Quando i termini sono più di quattro si usa il nome generico polinomio con 5, 6, 7,..., n termini.
Il grado di un polinomio ridotto in forma normale è dato dal grado più alto tra quelli dei suoi monomi. Ad esempio, nel trinomio
il primo monomio ha grado 4, il secondo ha grado 3, il terzo ha grado 5. Quindi il grado più alto dei suoi monomi è 5 e questo è il grado del trinomio.
Il grado di un polinomio rispetto a una data lettera è dato dall'esponente maggiore con cui compare quella lettera nel polinomio.
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Ad esempio nel polinomio
tutti i termini sono di quinto grado per cui il polinomio è omogeneo di quinto grado.
Un polinomio è ordinato rispetto a una delle sue lettere se i suoi termini sono disposti in modo che gli esponenti di quella lettera si succedano in ordine crescente o decrescente. Ad esempio il polinomio
è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x.
Un polinomio è completo rispetto a una lettera se questa compare con tutte le potenze dal grado massimo al grado zero. Ad esempio il polinomio
è completo rispetto alla lettera a. Infatti essa compare dal grado 3 al grado 0.
