Disequazioni letterali
Una disequazione è detta letterale o parametrica se oltre all'incognita contenga anche una o più lettere (cioè parametri). Ad esempio è letterale la disequazione:
a(x − 2) > 3 + 2x
Come per le equazioni, quando si risolvono questi tipi di disequazioni, i parametri sono considerati come costanti. Però, poichè la soluzione è espressa in funzione di uno o più parametri, è necessario esaminare i vari casi che si possono presentare al variare di tali parametri. Quando si affronta questo esame si suol dire che la disequazione viene discussa. Ad esempio, risolviamo la disequazione letterale:
a(x − 2) > 3 + 2x
Eseguiamo il prodotto:
ax − 2a > 3 + 2x
Portiamo al primo membro i termini con l'incognita e al secondo membro i termini noti:
ax − 2x > 3 +2a cioè (a-2)x > 3 +2a
Il passo successivo consiste nel dividere primo e secondo membro per a − 2. L'espressione a − 2, però, può essere positiva, negativa o nulla a causa della presenza del parametro a. Dobbiamo quindi distinguere i tre casi.
Discussione:
Primo caso: a − 2 > 0, cioè a > 2.
Per a > 2 possiamo dividere i due membri della disequazione per a − 2 senza cambiare il verso della diseguaglianza; si ottiene così la soluzione:
Secondo caso: a − 2 < 0, cioè a < 2.
Per a < 2 possiamo dividere i due membri della disequazione per a − 2 cambiando il verso della diseguaglianza; si ottiene così la soluzione:
Terzo caso: a − 2 = 0, cioè a = 2.
Per a = 2 non possiamo dividere i due membri per a − 2 che rappresenta zero. Porremo allora a = 2 nella disequazione iniziale che diventa:(x − 2) > 3 + 2x cioè 0x > 7
che è impossibile
Riassumendo si ha:
