Cosa devi sapere sulle disequazioni lineari

Disequazioni

Una disequazione è una diseguaglianza fra due espressioni letterali che contengono una o più incognite (o variabili). Tutti i valori che sostituiti alle incognite rendono la diseguaglianza vera costituiscono la soluzione della disequazione. Come per le equazioni, le due espressioni letterali sono dette membri della disequazione. Per indicare la diseguaglianza fra i due membri della disequazione si utilizza uno dei quattro simboli che vanno letti da sinistra a destra:

Sono disequazioni ad esempio:

3x + 1 < 2x + 4      x + y ≥ 6      6 − x > 8      x² + x ≤ 6

La prima è una disequazione lineare nella sola incognita x, la seconda è una disequazione lineare nelle due incognite x e y e la quarta è una disequazione di secondo grado nell'incognita x.

Come per le equazioni due disequazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per trasformare una disequazione in un'altra equivalente possiamo applicare i tre principi di equivalenza delle disequazioni:

• Primo principio:
  
  Sommando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione lo stesso numero si ottiene una disequazione equivalente.

• Secondo principio:
  
  Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per lo stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente.

• Terzo principio:
  
  Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per lo stesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo di diseguaglianza si ottiene una disequazione equivalente.

I primi due principi sono del tutto simili ai principi di equivalenza per le equazioni, invece il terzo principio introduce una novità che è bene analizzare per evitare gravi errori. Per fissare le idee ragioniamo su una semplice diseguaglianza tra due numeri; un'incognita rappresenta un numero e quindi una disequazione può essere vista come una diseguaglianza fra numeri. Consideriamo una diseguaglianza vera tra due numeri aventi lo stesso segno (lo stesso ragionamento vale anche per una diseguaglianza vera tra due numeri aventi segni opposti):

6 < 9      (oppure −5 < − 3)

Se moltiplichiamo entrambi i membri per −1 senza cambiare il verso del simbolo di diseguaglianza otteniamo una diseguaglianza falsa:

−6 < −9      (oppure 5 < 3)

Se, invece, moltiplichiamo entrambi i membri per −1 e cambiamo il verso del simbolo di diseguaglianza otteniamo ancora una diseguaglianza vera:

−6 > −9      (oppure 5 > 3)