Come si risolve una disequazione
Per risolvere algebricamente una disequazioni di primo grado (o lineare) in una incognita si utilizzano i tre principi di equivalenza delle disequazioni. Ad esempio risolviamo la disequazione:
Primo passo:
Eliminiano gli eventuali denominatori moltiplicando tutti i termini per il mcm dei denominatori ed eseguiamo le eventuali operazioni:
Secondo passo:
Trasportiamo i termini con l'incognita al primo menbro e quelli noti al secondo membro:
Terzo passo:
Riduciamo i termini simili:
Quarto passo:
Se il coefficiente dell'incognita è negativo cambiamo i segni e il verso del simbolo di diseguaglianza:
Quinto passo:
Dividiamo ambo i membri per il coefficiente dell'incognita se non è nullo:
La disequazione è soddisfatta (cioè vera) per tutti i valori reali di x minori di 1 cioè per un intervallo di valori numerici, e quindi ammette infinite soluzioni e non un unico valore come succede, in generale, per le equazioni lineari.
Vi sono tre modi equivalenti per rappresentare la soluzione di una disequazione lineare:
Notazione insiemistica:
La soluzione della disequazione lineare viene indicata tra parentesi graffe mediante una proprietà che caratterizzi tutti i valori che soddisfano la disequazione. Ad esempio, per la soluzione x < 1 che soddisfa la nostra disequazione possiamo individuare come proprietà caratteristica essere un numero reale minore di uno che tradotto in simboli si scrive:
e si legge l'insieme dei valori di x appartenenti all'insieme dei numeri reali tali che x sia minore di 1.
Retta orientata:
Una retta orientata viene divisa in due semirette (una continua e l'altra tratteggiata) aventi l'origine in comune. Tutti i punti della semiretta continua rappresentano la soluzione della disequazione lineare. L'origine comune alle due semirette è contrassegnata da un cerchietto pieno se il corrispondente valore soddisfa la disequazione, da un cerchietto vuoto se tale valore non soddisfa la disequazione. La semiretta tratteggiata rappresenta invece tutti i valori che non soddisfano la disequazione. Ad esempio, la soluzione x < 1 che soddisfa la nostra disequazione è rappresentata dalla linea coontinua che va da 1 (non incluso) a meno infinito. Sul valore 1 c'è un cerchietto vuoto perchè 1 non è compreso nella soluzione della disequazione. La linea tratteggiata va da 1 (incluso) a più infinito; tutti questi valori non soddisfano la disequazione.
Intervallo numerico:
In generale, la soluzione di una disequazione lineare è un sottoinsieme dei numeri reali detto intervallo numerico costituito da tutti i numeri maggiori (maggiori o uguali) a un dato numero oppure da tutti i numeri minori (minori o uguali) a un dato numero. L'intervallo numerico viene espresso dalla coppia dei valori estremi ordinati; il più piccolo a sinistra il più grande a destra. I due valori sono separati dal simbolo ";" e racchiusi fra parentesi quadre. L'orientamento della parentesi quadra indica se l'estremo è incluso o escluso dall'intervallo. Più infinito (+ ∞) e meno infinito (− ∞) non sono numeri e quindi come estremi di intervalli sono sempre esclusi.
Ad esempio la soluzione x < 1 che soddisfa la nostra disequazione è rappresentato dall'intervallo numerico:
Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: Risolviamo la disequazione
3x + 5 ≥ 4x + 2
Applicando i tre principi di equivalenza delle disequazioni si ha:
3x - 4x ≥ 2 - 5
-x ≥ -3
x ≤ 3
L'insieme delle soluzioni è l'intervallo:]-∞; 3]
e la sua rappresentazione grafica è:
Esempio 2: Risolviamo la disequazione
x3 - 2x2 - x + 2 ≤ 0
Questa è una disequazione di terzo grado nella sola incognita x che possiamo risolvere scomponendo il quadrinomio al primo membro in tre fattori lineari:
(x - 1)(x + 1)(x - 2) ≤ 0
Ora, il segno del prodotto di tre numeri è determinato, per la regola dei segni, dal segno che ciascun fattore assume. Indichiamo con f1(x), f2(x), f3(x) i tre fattori:
Il primo fattore f1(x) = (x - 1) è positivo se x>1 (e, chiaramente, negativo se x<1, nullo se x=1);
Il secondo fattore f2(x) = (x + 1) è positivo se x>-1 (e negativo se x<-1, nullo se x=-1);
Il terzo fattore f3(x) = (x - 2) è positivo se x>2 (e negativo se x<2, nullo se x=2).
Possiamo riassumere queste informazioni con uno schema geometrico dove i segni dei tre fattori e del loro prodotto sono rappresentati su linee parallele tratteggiate, in corrispondenza dei valori di x per cui ciascun fattore è negativo, e continue, in corrispondenza dei valori di x per cui ciascun fattore è positivo.
In conclusione la disequazione è verificata per:
x ≤ - 1 oppure 1 ≤ x ≤ 2
o equivalentemente
]-∞; -1] U [1; 2]
