Numero immaginario

Ampliamento dei numeri reali

I numeri immaginari hanno permesso di ampliare l'insieme dei numeri reali e di costituire l'insieme dei numeri complessi indicati con la lettera C. Un generico numero complesso z è composto da due parti ben distinte, una parte reale e una parte immaginaria e indicato con la scrittura:

z = a + bi

dove a è la parte reale e bi è la parte immaginaria. Il numero reale b viene anche detto coefficiente immaginario.

C = {a + bi | a, b ∈ R e i² = -1}

L'insieme dei numeri complessi è stato indispensabile per gli ulteriori sviluppi dell'algebra:

• Nella risoluzione delle equazioni.
  
  Nell'insieme dei numeri complessi ogni equazione di secondo o di terzo grado con coefficienti reali o immaginari è sempre completamente risolubile e questo risultato può essere generalizzato grazie al teorema di Gauss:
  
  Teorema fondamentale dell'algebra:
  
  Nell'insieme C ogni equazione algebrica a coefficienti reali o complessi:

  a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₁z + a₀ = 0

  ha tante radici (eventualmente coincidenti) quante il suo grado. Questo teorema è importante perchè permette di scoprire che nell'insieme C c'è corrispondenza tra il numero delle soluzioni di un'equazione e il suo grado e questa regolarità non esiste nell'insieme R.

• Nella fattorizzazione di un polinomio.
  
  Nell'insieme dei numeri complessi ogni polinomio di grado n a coefficienti reali o complessi

  p(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₁z + a₀

  si fattorizza in un sol modo, in C, nel prodotto di n fattori lineari; si ha infatti

  p(z) = a_n(z - z₁) (z - z₂) ... (z - z_n)

  dove z₁, z₂, ..., z_n sono numeri complessi.
  
  Ad esempio il polinomio x³ - 1 nell'insieme R si fattorizza in:

  (x - 1)(x² + x + 1)

  dove il polinomio di secondo grado è irriducibile ma è scomponibile nell'insieme C.

  

• Nelle radici dell'unità.
  
  Nell'insieme dei numeri reali l'equazione xⁿ = 1 ha una sola soluzione, x=1, se n è dispari, e due soluzioni, x = ±1, se n è pari. Nell'insieme C l'equazione zⁿ = 1 ha esattamente n diverse radici n-esime complesse dell'unità che nel piano di Gauss si dispongono ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza con centro nell'origine e raggio 1. Ad esempio l'equazione

  z⁴ = 1

  ha quattro radici complesse

  1, -1, i, -i

  e nel piano di Gauss si dispongono ai vertici di un quadrato.