Disequazioni irrazionali del tipo:
Esaminiamo alcuni esempi di risoluzione di disequazioni irrazionali nelle quali compaiono due radicali:
Distinguiamo due casi:
n dispari.
Essendo dispari gli indici delle radici non bisogna porre nessuna condizione ai due radicali. Elevando alla potenza n-esima entrambi i membri si ottiene una disequazione razionale equivalente:
Ad esempio, risolviamo la disequazione:
Elevando alla quinta potenza entrambi i membri si ottiene:
che è soddisfatta per :
n pari.
Essendo pari gli indici delle due radici bisogna porre la condizione di esistenza ai due radicali. Con tale condizione possiamo elevare alla potenza n-esima entrambi i membri per ottenere una disequazione razionale. In conclusione, la disequazione irrazionale iniziale equivale al sistema:
Ad esempio, risolviamo la disequazione:
Imponendo la condizione di esistenza dei due radicali e elevando alla quarta potenza entrambi i membri si ottiene il seguente sistema equivalente alla disequazione irrazionale:
Cioè
che è soddisfatta per 0 ≥ x < 2.
Vediamo alcuni esercizi svolti di disequazioni irrazionali un pò complicate ma riconducibili ad uno dei casi esaminati.
Esempio 1 Risolviamo la disequazione irrazionale:
La disequazione è equivalente al sistema:
La prima disequazione del sistema è verificata per:
La seconda disequazione del sistema è verifica per:
Il sistema diventa quindi:
e le soluzioni del sistema e della disequazione irrazionale sono:
Esempio 2 Risolviamo la disequazione irrazionale fratta:
Per la realtà delle radici dovrà essere:
Per il numeratore: x+2 ≥ 0 → x ≥ -2
Per il denominatore: x ≥ 0Per l'esistenza della frazione dovrà essere:
Il dominio della disequazione è quindi:
Consideriamo il numeratore N > 0.
Il numeratore è equivalente all'unione dei due sistemi:
Che sono verificati per:
Consideriamo il denominatore D > 0.
Il denominatore è equivalente all'unione dei due sistemi:
Che sono verificati per:
Consideriamo ora, lo schema dei segni riassuntivo tra numeratore e denominatore considerando solo i valori di x appartenenti al dominio della disequazione irrazionale fratta:
Esempio 3 Risolviamo la disequazione irrazionale:
Per la realtà delle radici dovrà essere:
2x + 3 ≥ 0 e x - 2 ≥ 0 cioè x ≥ 2
Trasportiamo il secondo radicale al secondo membro:
La disequazione è equivalente al sistema:
Cioè
La terza disequazione è irrazionale ed è equivalente al sistema:
Cioè
Pertanto si ha:
e la soluzione della disequazione data è:
Esempio 4 Risolviamo la disequazione irrazionale con valore assoluto:
Per definizione di valore assoluto distinguiamo due casi: x ≥ 0 e x ≤ 0.
Pertanto la disequazione irrazionale è equivalente all'unione dei due sistemi:
Consideriamo il primo sistema.
Essendo la seconda disequazione una disequazione irrazionale si ha:
Cioè
Consideriamo il secondo sistema.
Cioè
Pertanto si ha:
Esempio 5 Risolviamo la disequazione irrazionale con valore assoluto:
Per l'esistenza della frazione dovrà essere:
|x - 1| ≠ 2 → x ≠ -1 ∨ x ≠ 3
Consideriamo il numeratore N > 0.
Il numeratore è equivalente all'unione dei due sistemi:
Che sono verificati per:
Consideriamo il denominatore D > 0.
Per definizione di valore assoluto la disequazione è equivalente all'unione di due sistemi:
Che sono verificati per x < -1 ∨ x > 3.
Pertanto la soluzione della disequazione data è:
