Disequazioni irraxionali del tipo:
Una disequazione è irrazionale se l'incognita compare sotto il segno di radice; ad esempio:
In generale, le disequazioni irrazionali sono del tipo:
con n ≥ 2.
Come per le equazioni irrazionali per risolvere una generica disequazione irrazionale è necessario trasformarla in una razionale eliminando le radici elevando, uno o più volte, entrambi i membri della disequazione. Occorre, però, fare attenzione all'indice della radice che contiene l'incognita. Se l'indice è dispari la radice è definita sia per valori negativi che per valori non negativi del radicando, invece se l'indice è pari la radice è definita solo per valori non negativi del radicando. In questi casi innalzando a potenza con esponente pari entrambi i membri della disequazione irrazionale si ottiene una disequazione razionale equivalente solo se entrambi i membri della disequazione irrazionale sono entrambi positivi.
Esaminiamo alcuni esempi di risoluzione di disequazioni irrazionali nelle quali compare un solo radicale al primo membro e un numero al secondo membro:
Distinguiamo due casi:
n dispari:
La radice esiste sempre e il suo dominio è l'insieme dei numeri reali. Elevando alla potenza n-esima entrambi i membri si ottiene una disequazione razionale equivalente. Si ha:
Le soluzioni della disequazione razionale sono anche soluzioni della disequazione irrazionale.
Ad esempio, risolviamo la disequazione:
Elevando entrambi i membri al cubo si ottiene:
che ha per soluzione x > 3.
n pari:
Bisogna distinguere due sottocasi:
Consideriamo il primo sottocaso:
Se k è un numero minore di zero la disequazione non ha soluzioni perchè la radice con indice pari esiste solo se il radicando è un numero positivo o nullo e quindi non può essere minore di un numero negativo.
Se k è un numero non negativo affinchè la disequazione abbia senso occorre imporre la condizione di esistenza della radice e cioè A(x) ≥ 0. Con questa condizione i due membri della disequazione sono entrambi non negativi. Elevando alla potenza n-esima i due membri si ottiene la disequazione razionale:
In conclusione, la disequazione irrazionale equivale al sistema
In altre parole, il sistema e la disequazione irrazionale hanno le stesse soluzioni.
Ad esempio, risolviamo la disequazione:
Imponendo la condizione di esistenza del primo membro e elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene il seguente sistema equivalente alla disequazione irrazionale:
Ossia
L'intervallo -1 < x < 1 è la soluzione del sistema e della disequazione irrazionale.
Consideriamo il secondo sottocaso:
Se k è un numero minore di zero la disequazione è verificata imponendo la condizione di esistenza del radicando e la soluzione è data da:A(x) ≥ 0
Ad esempio, risolviamo la disequazione:
La disequazione è soddisfatta per x - 1 ≥ 0 cioè per x ≥ 1.
Se k è un numero non negativo affinchè la disequazione abbia senso occorre imporre la condizione di esistenza della radice e cioè A(x) ≥ 0. Con questa condizione i due membri della disequazione sono entrambi non negativi. Elevando alla potenza n-esima i due membri si ottiene la disequazione razionale:
Quest'ultima disequazione stabilisce che A(x) è maggiore di un numero non negativo elevato a una potenza pari e questo vuol dire che A(x) è un numero non negativo e quindi include la condizione di esistenza del radicale. In conclusione, la disequazione irrazionale è equivalente alla disequazione razionale ottenuta elevando alla potenza n-esima i due menbri.
Ad esempio, risolviamo la disequazione irrazionale:
Elevando al quadrato i due membri si ottiene:
5x - 1 > 72
che ha per soluzione x > 10.
