Cosa devi sapere sulle coniche

Studio di un fascio di coniche

Vediamo alcuni esempio sullo studio di un fascio di coniche.

Esempio1: Determina per quali valori del parametro reale k l'equazione:

kx²+(2k-3)y²+2x-3y+1=0

rappresenta:

a) un'iperbole;

b) un'iperbole equilatera;

c) una parabola con asse parallelo agli assi coordinati;

d) un'ellisse;

e) una circonferenza.

a) L'equazione rappresenta un'iperbole se i coefficienti dei termini di secondo grado sono discordi e la condizione di realtà sia diversa da zero. Cioè:

A ⋅ B < 0 ∧ .

Risolviamo la disequazione:

k(2k-3) < 0 → 0 < k < 3/2

verifichiamo la condizione di realtà:

Svolgendo si ha:

Pertanto, per 0 < k < 3/2 con

l'equazione data rappresenta un'iperbole.

Inoltre, si può verificare che per valori di

la condizione di realtà è maggiore di zero e quindi l'iperbole ha l'asse traverso parallelo all'asse x.

Invece per valori di

la condizione di realtà è minore di zero e quindi l'iperbole ha l'asse traverso parallelo all'asse y.

Vediamo i grafici delle iperbole per k=0,3 e per k=0,8

b) L'equazioni rappresenta un'iperbole equilatera se i coefficienti dei termini di secondo grado sono discordi e uguali in valore assoluto. Cioè:

A = -B → k = -2k + 3 → k = 1

Pertanto per k = 1 l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera.

c) L'equazione rappresenta una parabola con asse parallelo agli assi coordinati se contiene un solo termine di secondo grado. Ci sono quindi due casi: 1) A = 0; 2) B = 0

A = 0 → k = 0

In tal caso l'equazione rappresenta una parabola con l'asse parallelo alla x:

B = 0 → 2k - 3 = 0 → k = 3/2

In tal caso l'equazione rappresenta una parabola con l'asse parallelo alla y:

d) L'equazione rappresenta un'ellisse se i coefficienti dei termini di secondo grado sono concordi e se la condizione di realtà è diversa da zero. Ci sono quindi due casi:

1) A > 0 ∧ B > 0 ∧

2)A < 0 ∧ B < 0 ∧

Il primo caso è equivalente al sistema:

che ha per soluzione:

Il secondo caso è equivalente al sistema:

che ha per soluzione:

k < 0

Vediamo i grafici delle ellissi per k=-0,50 e per k=2,0

e) L'equazione rappresenta una circonferenza se i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali. Cioè:

A = B → k = 2k - 3 → k = 3

Ecco il grafico:

Esempio2: Determina per quali valori del parametro reale k l'equazione:

(k-2)x²+ky²+6x+4y-2=0

rappresenta:

a) una circonferenza;

b) un'iperbole;

c) una parabola con asse parallelo agli assi coordinati;

d) un'ellisse.

a) L'equazione rappresenta una circonferenza se i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali. Cioè:

A = B → k - 2 = k → -2 = 0

Essendo l'uguaglianza assurda, non esiste nessun valore reale di k tale che l'equazione data rappresenti una circonferenza.


b) L'equazione rappresenta un'iperbole se i coefficienti dei termini di secondo grado sono discordi. Cioè:

A ⋅ B < 0 → (k - 2)k < 0 → 0 < k < 2

c) L'equazione rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse x se il coefficiente del termine di secondo grado in x è nullo.

L'equazione rappresenta una parabola con l'asse parallelo all'asse y se il coefficiente di secondo grado in y è nullo.

Pertanto si ottiene una parabola con asse parallelo agli assi coordinati per:

k = 2 ∧ k = 0

d) L'equazione rappresenta un'ellisse se i coefficienti dei termini di secondo grado e la condizione di realtà sono concordi. Ciò equivale ai due sistemi:

Svolgendo si ha: