Studio di un fascio di coniche
Vediamo alcuni esempio sullo studio di un fascio di coniche.
- Esempio1: Determina per quali valori del parametro reale k l'equazione:
kx2+(2k-3)y2+2x-3y+1=0
rappresenta:
- a) un'iperbole;
- b) un'iperbole equilatera;
- c) una parabola con asse parallelo agli assi coordinati;
- d) un'ellisse;
- e) una circonferenza.
a) L'equazione rappresenta un'iperbole se i coefficienti dei termini di secondo grado sono discordi e la condizione di realtà sia diversa da zero. Cioè:
A ⋅ B < 0 ∧
.
Risolviamo la disequazione:
k(2k-3) < 0 → 0 < k < 3/2
Verifichiamo la condizione di realtà:
Svolgendo si ha:
Pertanto, per 0 < k < 3/2 con:
L'equazione data rappresenta un'iperbole.
Inoltre, si può verificare che per valori di:
la condizione di realtà è maggiore di zero e l'iperbole ha l'asse traverso parallelo all'asse x.
Invece per valori di:
la condizione di realtà è minore di zero e l'iperbole ha l'asse traverso parallelo all'asse y.
Vediamo i grafici delle iperbole per k=0,3 e per k=0,8
b) L'equazioni rappresenta un'iperbole equilatera se i coefficienti dei termini di secondo grado sono discordi e uguali in valore assoluto. Cioè:
A = -B → k = -2k + 3 → k = 1
Pertanto, per k = 1 l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera.
c) L'equazione rappresenta una parabola con asse parallelo agli assi coordinati se contiene un solo termine di secondo grado. Ci sono quindi due casi: 1) A = 0; 2) B = 0
A = 0 → k = 0
In tal caso l'equazione rappresenta una parabola con l'asse parallelo alla x:
B = 0 → 2k - 3 = 0 → k = 3/2 /p>
In tal caso l'equazione rappresenta una parabola con l'asse parallelo alla y:
d) L'equazione rappresenta un'ellisse se i coefficienti dei termini di secondo grado sono concordi e se la condizione di realtà è diversa da zero. Ci sono quindi due casi:
1) A > 0 ∧ B > 0 ∧
2)A < 0 ∧ B < 0 ∧
Il primo caso è equivalente al sistema:
Che ha per soluzione:
Il secondo caso è equivalente al sistema:
Che ha per soluzione:
k < 0
Vediamo i grafici delle ellissi per k=-0,50 e per k=2,0
e) L'equazione rappresenta una circonferenza se i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali. Cioè:
A = B → k = 2k - 3 → k = 3
Ecco il grafico:
- Esempio2: Determina per quali valori del parametro reale k l'equazione:
(k-2)x2+ky2+6x+4y-2=0
rappresenta:
- a) una circonferenza; <7li>
- b) un'iperbole;
- c) una parabola con asse parallelo agli assi coordinati;
- d) un'ellisse.
a) L'equazione rappresenta una circonferenza se i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali. Cioè:
A = B → k - 2 = k → -2 = 0
Essendo l'uguaglianza assurda, non esiste nessun valore reale di k tale che l'equazione data rappresenti una circonferenza.
b) L'equazione rappresenta un'iperbole se i coefficienti dei termini di secondo grado sono discordi. Cioè:
A ⋅ B < 0 → (k - 2)k < 0 → 0 < k < 2
c) L'equazione rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse x se il coefficiente del termine di secondo grado in x è nullo.
L'equazione rappresenta una parabola con l'asse parallelo all'asse y se il coefficiente di secondo grado in y è nullo.
Pertanto, si ottiene una parabola con asse parallelo agli assi coordinati per:
k = 2 ∧ k = 0
d) L'equazione rappresenta un'ellisse se i coefficienti dei termini di secondo grado e la condizione di realtà sono concordi. Ciò equivale ai due sistemi:
Svolgendo si ha:
