Disequazioni e il modello della parabola
Risolvere una disequazione intera di secondo grado equivale a trovare i valori di x per cui il grafico del trinomio
f(x) = ax2 + bx + c
che sappiamo essere una parabola, si trova al di sopra o al di sotto dell'asse delle x. Esaminiamo i casi possibili.
Primo caso Δ > 0
Il trinomio f(x) ha due zeri distinti, x1 e x2 (con x1 < x2). Se il coefficiente a del termine di secondo grado è positivo allora la parabola ha l'apertura verso l'alto
e quindi
f(x) assume valori positivi per valori esterni all'intervallo [x1, x2], cioè per
x < x1 oppure x > x2
f(x) assume valori negativi per valori interni all'intervallo (x1, x2), cioè per
x1 < x < x2
Se invece il coefficiente a è negativo allora la parabola ha l'apertura verso il basso
e quindi
f(x) assume valori positivi per valori interni all'intervallo (x1, x2), cioè per
x1 < x < x2
f(x) assume valori negativi per valori esterni all'intervallo [x1, x2], cioè per
x < x1 oppure x > x2
Secondo caso Δ = 0
Il trinomio f(x) ha un solo zero, x1, e la parabola è tangente all'asse delle x. Se il coefficiente a del termine di secondo grado è positivo la parabola ha l'apertura verso l'alto e quindi si trova al di sopra dell'asse delle x (e lo tocca nel vertice).
Ne segue che il trinomio f(x) assume valori positivi per tutti i valori di x fatta eccezione per x = x1 (valore per cui si annulla).
Se invece a è negativo la parabola ha l'apertura verso il basso e quindi si trova al di sotto dell'asse delle x (e lo tocca nel vertice).
Ne segue che il trinomio f(x) assume valori negativi per tutti i valori di x fatta eccezione per x = x1 (valore per cui si annulla).
Terzo caso Δ < 0
Il trinomio f(x) non ha zeri reali. Se il coefficiente a del termine di secondo grado è positivo la parabola ha l'apertura verso l'alto e quindi si trova sempre al di sopra dell'asse delle x.
Ne segue che il trinomio f(x) assume valori positivi per tutti i valori di x.
Se invece a è negativo la parabola ha l'apertura verso il basso e quindi si trova sempre al di sotto dell'asse delle x.
Ne segue che il trinomio f(x) assume valori negativi per tutti i valori di x.
Riassumendo:
f(x) = ax2 + bx + c a > 0
f(x) = ax2 + bx + c a < 0
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
