Disequazioni intere di secondo grado
Una disequazione intera di secondo grado in una incognita è sempre riconducibile a una delle seguenti forme normali:
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≤ 0con a > 0. Una disequazione di secondo grado con a < 0 può essere sempre trasformata in una disequazione equivalente con a > 0 moltiplicando i due membri per -1 e cambiando il verso della disequazione. Ad esempio la disequazione
-3x2 + 5x - 2 > 0
può essere trasformata nella disequazione equivalente
3x2 - 5x + 2 < 0.
Risolvere una disequazione significa trovare quei valori di x che verificano la disuguaglianza. Per far ciò è necessario compiere i seguenti passi:
Ridurre la disequazione in forma normale.
Trovare le soluzioni dell'equazione associata alla disequazione.
Discutere le soluzioni ottenute per individuare quei valori di x che verificano la disuguaglianza con la regola D.I.C.E. (Discordi Interni, Concordi Esterni).
Esaminiamo i tre casi possibili:
Primo caso Δ > 0: Il discriminante dell'equazione associata è maggiore di zero.
Consideriamo le disequazioni:1)3x2+5x-2>0; 2)3x2+5x-2≥0; 3)3x2+5x-2<0; 4)3x2+5x-2≤0
Essendo le disequazioni già nella loro forma normale calcoliamo le soluzioni dell'equazione associata
3x2 + 5x - 2 = 0
Il discriminate dell'equazione è positivo:
Δ = 49
e quindi l'equazione ammette due radici reali e distinte che possiamo determinare applicando la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:
x1 = -2 e x2 = 1/3
Esaminiamo ora il segno di un trinomio f(x)=ax2+bx+c con a > 0 e Δ > 0 utilizzando la regola Discordi Interni, Concordi Esterni. Il trinomio:
si annulla quando la variabile x ha il valore di una delle due radici;
assume valori di segno Discordi a quello del suo primo coefficiente quando la variabile x ha valori Interni all'intervallo delle radici;
assume valori di segno Concordi a quello del suo primo coefficiente quando la variabile x ha valori Esterni all'intervallo delle radici.
Poichè i quattro trinomi hanno sia il discriminante che il primo coefficiente positivi: Δ = 49 e a = 3 si ha:
La disequazione 1)3x2+5x-2>0 è soddisfatta per valori di x esterni all'intervallo delle radici cioè:x < - 2 v x > 1/3
La disequazione 2)3x2+5x-2≥0 è soddisfatta sia per valori di x esterni all'intervallo delle radici sia per valori di x uguali alle radici cioè:
x ≤ - 2 v x ≥ 1/3
La disequazione 3)3x2+5x-2<0 è soddisfatta per valori di x interni all'intervallo delle radici cioè:
-2 < x < 1/3
La disequazione 4)3x2+5x-2≤0 è soddisfatta sia per valori di x interni all'intervallo delle radici sia per valori di x uguali alle radici cioè:
-2 ≤ x ≤ 1/3
Secondo caso Δ = 0: Il discriminante dell'equazione associata è uguale a zero.
Consideriamo le disequazioni:1)4x2-12x+9>0; 2)4x2-12x+9≥0; 3)4x2-12x+9<0; 4)4x2-12x+9≤0
Essendo le disequazioni giò nella loro forma normale calcoliamo le soluzioni dell'equazione associata
4x2 - 12x + 9 = 0
Il discriminate dell'equazione è nullo:
Δ = 0
e quindi l'equazione ammette due radici reali e coincidenti che possiamo determinare applicando la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:
x1 = x2 = 3/2
Esaminiamo ora il segno di un trinomio f(x)=ax2+bx+c con a > 0 e Δ = 0 utilizzando la regola Discordi Interni, Concordi Esterni. Il trinomio:
si annulla quando la variabile x ha lo stesso valore delle radici;
assume valori di segno Concordi a quello del suo primo coefficiente quando la variabile x ha valori Esterni all'intervallo delle radici (in questo caso l'intervallo tra le due radici si riduce a un solo punto).
Poichè i quattro trinomi hanno il discriminante nullo e il primo coefficiente positivo: Δ = 0 e a = 3 si ha:
La disequazione 1)4x2-12x+9>0 è soddisfatta per valori di x esterni all'intervallo delle radici cioè per:x ≠ 3/2
La disequazione 2)4x2-12x+9≥0 è soddisfatta sia per valori di x esterni all'intervallo delle radici sia per valori di x uguali alle radici cioè per:
x ∈ R
La disequazione 3)4x2-12x+9<0 è soddisfatta per valori di x interni all'intervallo delle radici cioè:
non ammette nessuna soluzione
La disequazione 4)4x2-12x+9≤0 è soddisfatta sia per valori di x interni all'intervallo delle radici sia per valori di x uguali alle radici cioè per:
x = 3/2
Terzo caso Δ < 0: Il discriminante dell'equazione associata è minore di zero.
Consideriamo le disequazioni:1)2x2-x+1>0; 2)2x2-x+1≥0; 3)2x2-x+1<0; 4)2x2-x+1≤0
Essendo le disequazioni già nella loro forma normale calcoliamo le soluzioni dell'equazione associata
2x2 - x + 1 = 0
Il discriminate dell'equazione è minore di zero:
Δ = -7
e quindi l'equazione non ammette radici reali.
Esaminiamo ora il segno di un trinomio f(x)=ax2+bx+c con a > 0 e Δ < 0. Il trinomio:
è sempre positivo per tutti i valori della variabile x.
assume valori di segno Concordi a quello del suo primo coefficiente per ogni valore della variabile x.
Poichè i quattro trinomi hanno il discriminante negativo e il primo coefficiente positivo: Δ < 0 e a = 2 si ha:
La disequazione 1)2x2-x+1>0 è soddisfatta per ogni valori di x.La disequazione 2)2x2-x+1≥0 è soddisfatta per ogni valori x.
La disequazione 3)2x2-x+1<0 non è soddisfatta per ogni valori di x.
La disequazione 4)2x2-x+1≤0 non è soddisfatta per ogni valori di x.
